Барбан - Дэвенпорт - Халберштам теоремасы - Barban–Davenport–Halberstam theorem

Математикада Барбан - Дэвенпорт - Халберштам теоремасы таралуы туралы мәлімдеме болып табылады жай сандар ан арифметикалық прогрессия. Ұзақ мерзімдерде жай бөлшектер бірдей айырмашылықпен мүмкін прогрессиялар бойынша бірдей бөлінетіні белгілі. Барбан-Дэвенпорт-Гальберштам типіндегі теоремалар қателік мерзімінің бағасын береді, олардың қаншалықты жақын екенін анықтайды. бірыңғай тарату болып табылады.

Мәлімдеме

Келіңіздер а болуы коприм дейін q және

${ displaystyle vartheta (x; q, a) = sum _ {p leq x ,; , p equiv a { bmod {q}}} log p }$

арифметикалық прогрессияның жай бөлшектерінің өлшенген саны болуы а модq. Бізде бар

${ displaystyle vartheta (x; q, a) = { frac {x} { varphi (q)}} + E (x; q, a) }$

қайда φ болып табылады Эйлердің тотентті қызметі және қате мерзімі E салыстырғанда азх. Біз қателіктер квадраттарының қосындысын аламыз

${ displaystyle V (x, Q) = sum _ {q leq Q} sum _ {a { bmod {q}}} | E (x; q, a) | ^ {2} .}$

Сонда бізде бар

${ displaystyle V (x, Q) = O (Qx log x) + O (x ^ {2} ( log x) ^ {- A}) }$

үшін ${ displaystyle 1 leq Q leq x}$ және барлық оңA, қайда O болып табылады Landau's Big O белгісі.

Теореманың бұл формасы Галлахерге байланысты. Барбанның нәтижесі тек үшін жарамды ${ displaystyle Q leq x ( log x) ^ {- B}}$ кейбіреулер үшін B байланысты A, және Дэвенпорт-Хальберштам нәтижесі барB = A + 5.

Сондай-ақ қараңыз

• Бомбиери-Виноградов теоремасы
• Эллиотт-Гальберштам гипотезасы

Әдебиеттер тізімі

• Хули, С. (2002). «Барбан-Дэвенпорт-Галберштам типіндегі теоремалар туралы». Беннетте М.А .; Берндт, Б.; Бостон, Н.; Даймонд, Х. Г .; Хилдебранд, А. Дж .; Филипп В., (редакция.) Сандар теориясы бойынша сауалнамалар: Сандар теориясы бойынша мыңжылдық конференциядан алынған мақалалар. Natick, MA: A K Peters. 75–108 бет. ISBN  1-56881-162-4. Zbl  1039.11057.