Брэмбл-Гильберт леммасы - Bramble–Hilbert lemma - Wikipedia

Жылы математика, атап айтқанда сандық талдау, Брэмбл-Гильберт лемма, атындағы Джеймс Х.Брамбл және Стивен Хилберт, шектейді қате туралы жуықтау а функциясы а көпмүшелік ең көп дегенде тапсырыс жөнінде туындылар туралы тәртіп . Жақындаудың қателігі де, туындылары да арқылы өлшенеді нормалар үстінде шектелген домен жылы . Бұл классикалық сандық талдауға ұқсас, мұндағы, мысалы, қателігі сызықтық интерполяция екінші туындысының көмегімен шектеуге болады . Алайда, Брамбл-Гильберт леммасы тек бір өлшемде емес, кез-келген мөлшерде қолданылады және жуықтау қателігі мен туындылары тек орташа мәндерді ғана емес, жалпы нормалармен өлшенеді максималды норма.

Брэмбл-Гильберт леммасын ұстау үшін доменге қосымша болжамдар қажет. Негізінде шекара доменнің «ақылға қонымды» болуы керек. Мысалы, ұшында нөлі бар саңылау немесе тілік бар домендер алынып тасталады. Lipschitz домендері қамтитын жеткілікті ақылға қонымды дөңес домендер мен домендер үздіксіз дифференциалданатын шекара.

Брамбл-Гильберт леммасының негізгі қолданылуы - бұл функцияны интерполяциялау қателігінің шекараларын дәлелдеу дейін ретті полиномдарды сақтайтын оператормен , туындылары тұрғысынан тәртіп . Бұл қателерді бағалаудағы маңызды қадам ақырғы элемент әдісі. Брэмбл-Гильберт леммасы бір элементтен тұратын доменде қолданылады (немесе кейбіреулерінде) суперконвергенция нәтижелер, элементтер саны аз).

Бір өлшемді жағдай

Лемманы толық жалпыламаудан бұрын, кейбір қарапайым ерекше жағдайларды қарастырған жөн. Бір өлшемде және функция үшін бар аралықтағы туындылар , лемма дейін азаяды

қайда - бұл кезектегі барлық полиномдардың кеңістігі .

Бұл жағдайда , , , және екі рет дифференциалданады, бұл көпмүшенің бар екенін білдіреді бәріне арналған бірінші дәрежелі ,

Бұл теңсіздік сонымен қатар таңдау арқылы сызықтық интерполяция үшін белгілі қателіктер бағасынан туындайды сызықтық интерполяны ретінде .

Лемма туралы мәлімдеме

[күмәнді ]

Айталық - шектелген домен , , шекарамен және диаметрі . болып табылады Соболев кеңістігі барлық функциялар қосулы бірге әлсіз туындылар тәртіп дейін жылы . Мұнда, Бұл көп индекс, және туынды білдіреді қатысты уақыт , қатысты уақыт , және тағы басқа. Соболев атындағы семинар тұрады жоғары ретті туындылардың нормалары,

және

дейін барлық реттік полиномдардың кеңістігі қосулы . Ескертіп қой барлығына және , сондықтан кез келген үшін бірдей мәнге ие .

Лемма (Брэмбл және Гильберт) Домендегі қосымша болжамдар бойынша , төменде көрсетілген, тұрақты бар тәуелсіз және кез келген үшін көпмүше бар бәріне арналған

Бастапқы нәтиже

Лемманы Брамбл мен Гильберт дәлелдеді [1] деген болжам бойынша қанағаттандырады конустың күшті қасиеті; яғни ақырлы ашық жабын бар туралы және сәйкес конустар шығу тегі бар төбелермен ішінде орналасқан кез келген үшін .

Лемманың тұжырымы 1-теоремада көрсетілген оң жақ теңсіздікті қарапайым түрде қайта жазу болып табылады.[1] Нақты мәлімдеме [1] бұл факторлар кеңістігінің нормасы дегенге тең семинар. The норма әдеттегі емес, бірақ терминдер масштабталған сондықтан семинарлардың эквиваленттілігінде оң жақтағы теңсіздік дәл осы жерде көрсетілгендей шығады.

Бастапқы нәтижеде көпмүшені таңдау көрсетілмеген, ал тұрақты мәні және оның доменге тәуелділігі дәлелдеуден анықтауға болмайды.

Конструктивті форма

Балама нәтижені Дюпон мен Скотт берді [2] домен деген болжам бойынша болып табылады жұлдыз тәрізді; яғни доп бар кез келген үшін , жабық дөңес корпус туралы ішкі бөлігі болып табылады . Айталық осындай шарлардың диаметрлерінің супремумы болып табылады. Қатынас деп аталады .

Сонда лемма тұрақтыға ие болады , яғни тұрақты доменге байланысты тек оның қолайлылығы арқылы және кеңістіктің өлшемі . Одан басқа, ретінде таңдауға болады , қайда орташаланған Тейлор көпмүшесі ретінде анықталды

қайда

бұл Тейлор дәрежесінің ең көп полиномы туралы ортасында бойынша бағаланды , және - барлық бұйрықтардың туындылары бар, сыртында нөлге тең функция , және солай

Мұндай функция әрқашан бар.

Толығырақ және оқу құралы туралы монографияны қараңыз Бреннер және Скотт.[3] Нәтижені домен болған жағдайда кеңейтуге болады - бұл жұлдыз тәрізді домендердің ақырлы санының бірігуі, ол конустың күшті қасиетіне қарағанда сәл жалпы, ал басқа полиномдық кеңістіктер берілген деңгейге дейінгі барлық көпмүшеліктердің кеңістігіне қарағанда.[2]

Сызықтық функционалдармен байланысты

Бұл нәтиже жоғарыдағы леммадан бірден шығады және оны кейде Брэмбл-Гильберт леммасы деп те атайды, мысалы Сиарлет.[4] Бұл 2-теорема.[1]

Лемма Айталық Бұл үздіксіз сызықтық функционалды қосулы және оның қос норма. Айталық барлығына . Сонда тұрақты болады осындай

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c г. Дж. Х.Брамбл және С.Р. Хильберт. Фурье түрлендірулеріне және сплайн интерполяциясын қолдана отырып, Соболев кеңістігінде сызықтық функционалдылықты бағалау. SIAM Дж. Нумер. Анал., 7:112–124, 1970.
  2. ^ а б Тодд Дюпон және Риджуэй Скотт. Соболев кеңістігіндегі функциялардың полиномдық жуықтауы. Математика. Комп., 34(150):441–463, 1980.
  3. ^ Сюзанн Бреннер және Л. Риджуэй Скотт. Шекті элементтер әдістерінің математикалық теориясы, 15-том Қолданбалы математикадағы мәтіндер. Springer-Verlag, Нью-Йорк, екінші басылым, 2002 ж. ISBN  0-387-95451-1
  4. ^ Филипп Г. Сиарлет. Эллиптикалық есептерге арналған ақырғы элемент әдісі, 40-том Қолданбалы математикадағы классика. Өнеркәсіптік және қолданбалы математика қоғамы (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания, 2002. 1978 жылғы түпнұсқаны қайта басып шығару [Солтүстік-Голландия, Амстердам]. ISBN  0-89871-514-8

Сыртқы сілтемелер