Дэнскинс теоремасы - Danskins theorem - Wikipedia

Жылы дөңес талдау, Данскин теоремасы Бұл теорема туралы ақпарат береді туындылар а функциясы форманың

Теореманың қосымшалары бар оңтайландыру, кейде оны шешу үшін қолданылады минимакс мәселелер. Дж.М.Данскиннің 1967 жылы жазылған «Макс-Мин теориясы және оның қаруды бөлу мәселелеріне қосымшалары» атты монографиясы, Шпрингер, Нью-Йоркте келтірілген түпнұсқа теорема максимумның бағытты туындысының формуласын ұсынады (міндетті түрде дөңес емес). дифференциалданатын функция. Дөңес функция жағдайына бейімделгенде, бұл формула 1971 жылы Ph.D докторантурасындағы А.22 ұсынысы ретінде біршама жалпы түрде келтірілген келесі теореманы береді. Д. П.Бертекастың дипломдық жұмысы, «Белгісіздікке сипаттама беріліп, белгісіз жүйелерді басқару». Берцекастың 1999 жылы шыққан «Сызықтық емес бағдарламалау» кітабынан келесі нұсқаға дәлел табуға болады (В.5 бөлімі).

Мәлімдеме

Теорема келесі жағдайға қатысты. Айталық Бұл үздіксіз функция екі дәлелден,

қайда Бұл ықшам жинақ. Әрі қарай болып табылады дөңес жылы әрқайсысы үшін .

Осы жағдайда Данскин теоремасы дөңес және дифференциалдылық функциясы

Осы нәтижелерді көрсету үшін максималды нүктелер жиынын анықтаймыз сияқты

Содан кейін Данскин теоремасы келесі нәтижелерді береді.

Дөңес
болып табылады дөңес.
Директивті туындылар
The бағытталған туынды туралы бағытта , деп белгіленді , арқылы беріледі
қайда функцияның бағытталған туындысы болып табылады кезінде бағытта .
Туынды
болып табылады ажыратылатын кезінде егер бір элементтен тұрады . Бұл жағдайда туынды туралы (немесе градиент туралы егер вектор болып табылады) арқылы беріледі
Субдифференциал
Егер қатысты ажыратылады барлығына және егер қатысты үздіксіз болады барлығына , содан кейін субдифференциалды туралы арқылы беріледі
қайда көрсетеді дөңес корпус жұмыс.
Кеңейту

1971 ж. Ph.D. Бертекастың тезисі [1] (А.22 ұсынысы) неғұрлым жалпы нәтижені дәлелдейді, мұны қажет етпейді дифференциалды. Оның орнына бұл болжайды - әрқайсысы үшін кеңейтілген нақты бағаланған жабық тиісті дөңес функция ықшам жинақта , сол , тиімді доменнің интерьері , бос емес, және бұл түсірілім алаңында үздіксіз болады . Содан кейін бәріне жылы , суб-дифференциал кезінде арқылы беріледі

қайда болып суб-дифференциал болып табылады кезінде кез келген үшін жылы .

Сондай-ақ қараңыз

Пайдаланылған әдебиеттер

  • Данскин, Джон М. (1967). Макс-Мин теориясы және оның қаруды бөлу мәселелеріне қолдануы. Нью-Йорк: Спрингер.
  • Бертсекас, Димитри П. (1971). Белгісіз жүйелерді мүшелікке байланысты анықтамалық сипаттамамен басқару. Кембридж, магистр: кандидаттық диссертация, MIT.
  • Бертсекас, Димитри П. (1999). Сызықты емес бағдарламалау. Belmont, MA: Athena Scientific. бет.737. ISBN  1-886529-00-0.