Топологиялық топтың кеңеюі - Extension of a topological group

Жылы математика, нақтырақ айтқанда топологиялық топтар, топологиялық топтардың кеңеюінемесе а топологиялық кеңейту, Бұл қысқа нақты дәйектілік ${ displaystyle 0 to H { stackrel { imath} { to}} X { stackrel { pi} { to}} G to 0}$ қайда ${ displaystyle H, X}$ және ${ displaystyle G}$ топологиялық топтар болып табылады және ${ displaystyle i}$ және ${ displaystyle pi}$ үздіксіз гомоморфизмдер, олар кескіндеріне де ашық.^[1] Топологиялық топтардың кез-келген кеңеюі а топты кеңейту.

Топологиялық топтардың кеңеюінің классификациясы

Топологиялық кеңейтулер деп айтамыз

${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

және

${ displaystyle 0 to H { stackrel {i '} { rightarrow}} X' { stackrel { pi '} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

топологиялық изоморфизм болған жағдайда эквивалентті (немесе үйлесімді) болады ${ displaystyle T: X to X '}$ жасау ауыстырмалы 1-суреттің сызбасы.

1-сурет

Топологиялық кеңейту деп айтамыз

${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

Бұл бөлінген кеңейту (немесе бөлінеді), егер бұл тривиальды кеңейтуге тең болса

${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i_ {H}} { rightarrow}} H times G { stackrel { pi _ {G}} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

қайда ${ displaystyle i_ {H}: H - H есе G}$ бұл бірінші факторға табиғи қосылу және ${ displaystyle pi _ {G}: H есе G ден G}$ екінші факторға қатысты табиғи проекция болып табылады.

Топологиялық кеңейту екенін дәлелдеу оңай ${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$ үздіксіз гомоморфизм болған жағдайда ғана бөлінеді ${ displaystyle R: X rightarrow H}$ осындай ${ displaystyle R circ i}$ - жеке куәлік картасы ${ displaystyle H}$

Топологиялық кеңейту екенін ескеріңіз ${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$ егер кіші топ болса ғана бөлінеді ${ displaystyle i (H)}$ Бұл топологиялық тікелей шақыру туралы ${ displaystyle X}$

Мысалдар

• Ал ${ displaystyle mathbb {R}}$ The нақты сандар және ${ displaystyle mathbb {Z}}$ The бүтін сандар. Ал ${ displaystyle imath}$ табиғи қосу және ${ displaystyle pi}$ табиғи проекция. Содан кейін

${ displaystyle 0 to mathbb {Z} { stackrel { imath} { to}} mathbb {R} { stackrel { pi} { to}} mathbb {R} / mathbb {Z } дейін 0}$

топологиялық абель топтарының кеңеюі болып табылады. Шынында да, бұл бөлінбейтін кеңейтудің мысалы.

Жергілікті ықшам абел топтарының кеңеюі (LCA)

Топологиялық абель топтарының кеңеюі қысқа дәл дәйектілік болады ${ displaystyle 0 to H { stackrel { imath} { to}} X { stackrel { pi} { to}} G to 0}$ қайда ${ displaystyle H, X}$ және ${ displaystyle G}$ болып табылады жергілікті ықшам топтар және ${ displaystyle i}$ және ${ displaystyle pi}$ салыстырмалы түрде ашық үздіксіз гомоморфизмдер болып табылады.^[2]

• Жергілікті ықшам абел топтарының кеңеюі болсын

${ displaystyle 0 to H { stackrel { imath} { to}} X { stackrel { pi} { to}} G to 0.}$

Ал ${ displaystyle H ^ { wedge}, X ^ { wedge}}$ және ${ displaystyle G ^ { wedge}}$ The Понтрягин дуалдары туралы ${ displaystyle H, X}$ және ${ displaystyle G}$ және алыңыз ${ displaystyle i ^ { wedge}}$ және ${ displaystyle pi ^ { wedge}}$ қос карталары ${ displaystyle i}$ және ${ displaystyle pi}$. Содан кейін реттілік

${ displaystyle 0 to G ^ { wedge} { stackrel { pi ^ { wedge}} { to}} X ^ { wedge} { stackrel { imath ^ { wedge}} { to }} H ^ { wedge} дейін 0}$

жергілікті ықшам абель топтарының кеңеюі.

Әдебиеттер тізімі