Бөтен және жетіспейтін шешімдер - Extraneous and missing solutions

Жылы математика, an бөгде ерітінді (немесе жалған шешім) - бұл, мысалы, есепті шығару процесінде туындайтын, бірақ теңдестірудің шешімі болып табылмайтын шешім.[1] A шешім жоқ мәселені шешудің дұрыс шешімі болып табылатын, бірақ мәселені шешу барысында жоғалып кеткен шешім. Екеуі де жиі орындалмайтын операциялардың салдары болып табылады төңкерілетін айнымалылардың кейбір немесе барлық мәндері үшін, бұл дәлелдеудегі логикалық салдар тізбегінің екі бағытты болуына жол бермейді.

Бөтен шешімдер: көбейту

Алгебраның негізгі қағидаларының бірі - теңдеудің шешімдерін өзгертпестен теңдеудің екі жағын бірдей өрнекпен көбейтуге болады. Алайда, қатаң түрде, бұл дұрыс емес, өйткені белгілі бір өрнектерге көбейту бұрын болмаған жаңа шешімдерді енгізуі мүмкін. Мысалы, келесі теңдеуді қарастырайық:

Егер екі жағын да нөлге көбейтсек, аламыз,

Бұл барлық мәндерге қатысты х, сондықтан шешім жиынтығы барлық нақты сандар болады. Бірақ нақты сандардың барлығы бірдей бастапқы теңдеудің шешімдері емес екені анық. Мәселе мынада, нөлге көбейту болмайды төңкерілетін: егер кез-келген нөлдік емес мәнге көбейтсек, онда бірдей мәнге бөлу арқылы қадамды өзгерте аламыз, бірақ нөлге бөлу анықталмаған, сондықтан нөлге көбейтуді қалпына келтіру мүмкін емес.

Нақтылап айтар болсақ, біз бірдей теңдеуді алып, екі жағын да көбейтейік х. Біз алып жатырмыз

Бұл квадрат теңдеудің екі шешімі бар - 2 және 0. Бірақ егер нөлге ауыстырылса х бастапқы теңдеуде нәтиже 2 = 0 теңсіздігі шығады. Бұл қарама-қарсы нәтиже, өйткені жағдайда болады х= 0, екі жағын да көбейтеміз х екі жағын да нөлге көбейтеді, сондықтан бірінші мысалдағыдай шынайы теңдеуді шығарады.

Жалпы алғанда, біз теңдеудің екі жағын да айнымалыларды қамтитын өрнекпен көбейткен кезде, сол өрнек нөлге тең болған жерде бөтен шешімдерді енгіземіз. Бірақ бұл мәндерді алып тастау жеткіліксіз, өйткені олар бастапқы теңдеудің заңды шешімдері болған болуы мүмкін. Мысалы, біз бастапқы теңдеудің екі жағын да көбейтеміз делік х + 2 = 0 бойынша х + 2. аламыз

тек бір нақты шешімі бар: x = -2, және бұл бастапқы теңдеудің шешімі, сондықтан оны алып тастауға болмайды, дегенмен х Бұл мән үшін + 2 нөлге тең х.

Бөтен шешімдер: ұтымды

Бөлшектегі айнымалысы бар бөлшектерді қосқандағы есептерде бөгде шешімдер табиғи түрде пайда болуы мүмкін. Мысалы, мына теңдеуді қарастырайық:

Шешуді бастау үшін теңдеудің әр жағын. -Ге көбейтеміз ең кіші ортақ бөлгіш теңдеудегі барлық фракциялардың. Бұл жағдайда ең кіші ортақ бөлгіш болып табылады . Осы операцияларды орындағаннан кейін, бөлшектер жойылып, теңдеу келесідей болады:

Мұны шешкенде жалғыз шешім шығады х = −2. Алайда шешімді бастапқы теңдеуге ауыстырған кезде мыналар алынады:

Сонда теңдеу келесідей болады:

Бұл теңдеу дұрыс емес, өйткені мүмкін емес нөлге бөлу. Сондықтан, шешім х = –2 бөгде және дұрыс емес, ал бастапқы теңдеуде шешім жоқ.

Осы нақты мысал үшін (х = -2 мәні үшін) көбейту әрекеті деп тануға болады 0-ге көбейту болар еді. Алайда, орындалған әрбір операцияға соңғы жауаптың рұқсат етілгендігін бағалау әрдайым қарапайым емес. Осыған байланысты, көбінесе айнымалыларды қамтитын өрнектермен көбейтуді шешудің жалғыз қарапайым әдісі - алынған шешімдердің әрқайсысын бастапқы теңдеуге ауыстыру және оның дұрыс теңдеу болатындығын растау. Жарамсыз теңдеу беретін шешімдерді тастағаннан кейін бізде шешімдердің дұрыс жиынтығы болады. Кейбір жағдайларда, жоғарыда келтірілген мысалдағыдай, барлық шешімдер алынып тасталуы мүмкін, бұл жағдайда бастапқы теңдеудің шешімі болмайды.

Жетіспейтін шешімдер: бөлу

Бөтен шешімдермен күресу өте қиын емес, өйткені олар барлық шешімдердің жарамдылығын тексеруді талап етеді. Алайда, осы өрнектердің белгілі бір мәндері үшін жарамсыз өрнектерге амалдар жасау кезінде орын алуы мүмкін шешімдер жетіспейтіні көп.

Мысалы, егер біз келесі теңдеуді шешіп жатсақ, онда екі жақтан да 4-ті азайтып, екі жағын да 2-ге бөлгенде дұрыс шешім шығады:

Аналогия бойынша келесі теңдеуді 2-ді азайту арқылы шешеміз деп ойлауымыз мүмкінх екі жағынан, содан кейін бөлу х:

Шешім х = −2 - бұл шын мәнінде бастапқы теңдеудің дұрыс шешімі; бірақ басқа шешім, х = 0, жоғалып кетті. Мәселе мынада, біз екі тарапты да бөлдік хқамтиды анықталмаған қашан нөлге бөлу операциясы х = 0.

Әдетте нөлге тең болатын кез-келген өрнектің бөлінуіне жол бермеуге болады (және ұсынылады); дегенмен, егер бұл қажет болса, оны нөлге айналдыратын айнымалылардың кез-келген мәндерінің де бастапқы теңдеуді қанағаттандырмауын қамтамасыз ету жеткілікті. Мысалы, бізде мына теңдеу бар делік:

Екі жағын да бөлуге болады хEqu2, келесі теңдеуді алу:

Бұл дұрыс, өйткені х жасайды хZero2 нөлге тең х= 2, және х= 2 бастапқы теңдеудің шешімі емес.

Кейбір жағдайларда бізді белгілі бір шешімдер қызықтырмайды; мысалы, біз шешімдерді қайда алғымыз келеді х оң. Бұл жағдайда тек нөлге тең болатын өрнекпен бөлуге болады х нөлге тең немесе теріс, өйткені бұл бізге маңызды емес шешімдерді ғана алып тастай алады.

Басқа операциялар

Көбейту және бөлу шешім жиынтығын өзгерте алатын жалғыз операция емес. Мәселен, мәселені алайық:

Егер біз екі жақтың да оң квадрат түбірін алсақ, біз мынаны аламыз:

Біз бұл жерде ешқандай теріс мәндердің квадрат түбірін алмаймыз, өйткені екеуі де х2 және 4 міндетті түрде оң болады. Бірақ біз шешімін жоғалттық х = −2. Себеп сол х жалпы емес оң квадрат түбірі х2. Егер х теріс, оң квадрат түбірі х2 болып табылады -x. Егер қадам дұрыс қабылданса, оның орнына теңдеу шығады:

Бұл теңдеудің бастапқы шешімімен бірдей екі шешімі бар: х = 2, және х = −2.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Рон Ларсон (2011 жылғы 1 қаңтар). Прекалькулуспен есептеулер I. Cengage Learning. 4–4 бет. ISBN  0-8400-6833-6.