Якоби-Ашудың кеңеюі - Jacobi–Anger expansion

Жылы математика, Якоби-Ашудың кеңеюі (немесе Якоби-Ашудың бірегейлігі) экспоненциалдарының кеңеюі болып табылады тригонометриялық функциялар олардың гармоникасы негізінде. Бұл физикада пайдалы (мысалы, дейін түрлендіру арасында жазық толқындар және цилиндрлік толқындар ), және сигналдарды өңдеу (сипаттау FM сигналдар). Бұл сәйкестік 19 ғасырдағы математиктердің есімімен аталады Карл Якоби және Карл Теодор Ашуы.

Ең жалпы сәйкестілік:^[1]^[2]

{ displaystyle e ^ {iz cos theta} equiv sum _ {n = - infty} ^ { infty} i ^ {n} , J_ {n} (z) , e ^ {in тета},}

қайда ${ displaystyle J_ {n} (z)}$ болып табылады ${ displaystyle n}$ -шы Бірінші типтегі Бессель функциясы және ${ displaystyle i}$ болып табылады ойдан шығарылған бірлік, ${ textstyle i ^ {2} = - 1.}$ Ауыстыру ${ textstyle theta}$ арқылы ${ textstyle theta - { frac { pi} {2}}}$ , біз де аламыз:

{ displaystyle e ^ {iz sin theta} equiv sum _ {n = - infty} ^ { infty} J_ {n} (z) , e ^ {in theta}.}

Қатынасты қолдану ${ displaystyle J _ {- n} (z) = (- 1) ^ {n} , J_ {n} (z),}$ бүтін сан үшін жарамды ${ displaystyle n}$ , кеңейту:^[1]^[2]

{ displaystyle e ^ {iz cos theta} equiv J_ {0} (z) , + , 2 , sum _ {n = 1} ^ { infty} , i ^ {n} , J_ {n} (z) , cos , (n theta).}

Нақты бағаланған өрнектер

Төмендегі нақты бағаланған вариациялар да пайдалы:^[3]

{ displaystyle { begin {aligned} cos (z cos theta) & equiv J_ {0} (z) +2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n } J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z cos theta) & equiv -2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} J_ {2n-1} (z) cos сол жақта [ сол жақта (2n-1 оңда) theta оң], cos (z sin theta) & equiv J_ {0} (z) +2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z sin theta) & equiv 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n-1} (z) sin left [ left (2n-1 right) theta right]. end {aligned}}}

Абрамовиц, Милтон; Стегун, Айрин Анн, eds. (1983) [маусым 1964]. «9-тарау». Формулалары, графиктері және математикалық кестелері бар математикалық функциялар туралы анықтама. Қолданбалы математика сериясы. 55 (Тоғызыншы түзету енгізілген оныншы түпнұсқа басып шығарудың қосымша түзетулерімен қайта басу (1972 ж. Желтоқсан); бірінші ред.) Вашингтон ДС; Нью-Йорк: Америка Құрама Штаттарының Сауда министрлігі, Ұлттық стандарттар бюросы; Dover жарияланымдары. б. 355. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МЫРЗА 0167642. LCCN 65-12253.
Колтон, Дэвид; Kress, Rainer (1998), Кері акустикалық және электромагниттік шашырау теориясы, Қолданбалы математика ғылымдары, 93 (2-ші басылым), ISBN 978-3-540-62838-5
Куйт, Энни; Петерсен, Вигдис; Вердонк, Брижит; Уадланд, Хаакон; Джонс, Уильям Б. (2008), Арнайы функциялар үшін жалғасқан фракциялар туралы анықтама, Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2

Вайсштейн, Эрик В. «Якоби-Ашуды кеңейту». MathWorld - Wolfram веб-ресурсы. Алынған 2008-11-11.