Ламбертс проблемасы - Lamberts problem - Wikipedia

Жылы аспан механикасы, Ламберт мәселесі екі позитивті вектордан орбита мен ұшу уақытын 18 ғасырда анықтағанға байланысты Иоганн Генрих Ламберт және ресми түрде математикалық дәлелдеу арқылы шешілді Джозеф-Луи Лагранж. Кездесу, мақсатты бағыттау, орбитаның алдын-ала анықталуы бағытында оның маңызды қосымшалары бар.[1]

Орталық ауырлық күшінің әсерінен дененің нүктеден қозғалуы байқалады делік P1 оның конустық траекториясында, нүктеге дейін P2 бір уақытта Т. Ұшу уақыты Ламберт теоремасы бойынша басқа айнымалылармен байланысты:

Конустық траекториядағы екі нүкте арасында қозғалатын дененің қозғалу уақыты тек күштің пайда болу нүктесінен екі нүктенің арақашықтығының, нүктелер арасындағы сызықтық арақашықтықтың және конустың жартылай осінің қосындысының функциясы болып табылады.[2]

Басқа жолды айтқан Ламберттің проблемасы: шекаралық есеп үшін дифференциалдық теңдеу

туралы екі дене проблемасы бір дененің массасы шексіз аз болған кезде; екі денелі мәселенің бұл жиынтығы ретінде белгілі Кеплер орбитасы.

Ламберт мәселесін дәл тұжырымдау келесідей:

Екі түрлі уақыт және екі позитивті вектор берілген.

Шешімін табыңыз ол үшін дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыру

Бастапқы геометриялық талдау

1-сурет: - бұл тарту орталығы, - векторға сәйкес келетін нүкте , және - векторға сәйкес келетін нүкте
2-сурет: нүктелері бар гипербола және арқылы өтетін фокус ретінде
3-сурет: нүктелері көрсетілген эллипс және арқылы өтетін фокус ретінде және

Үш ұпай

, тарту орталығы,
, векторға сәйкес нүкте ,
, векторға сәйкес нүкте ,

векторлармен анықталған жазықтықта үшбұрыш құрыңыз және суретте көрсетілгендей. нүктелер арасындағы қашықтық және болып табылады , нүктелер арасындағы қашықтық және болып табылады және нүктелер арасындағы қашықтық және болып табылады . Мәні нүктелердің қайсысына байланысты оң немесе теріс және бұл нүктеден ең алыс . Шешетін геометриялық есеп - бәрін табу эллипс нүктелер арқылы өтетін және және нүктеде назар аударыңыз

Ұпайлар , және а анықтаңыз гипербола нүктеден өту нүктелерінде фокустары бар және . Нүкте белгісіне байланысты гиперболаның сол немесе оң жақ тармағында орналасқан . Бұл гиперболаның жартылай негізгі осі болып табылады және эксцентриситет болып табылады . Бұл гипербола 2 суретте көрсетілген.

Гиперболаның үлкен және кіші осімен анықталған әдеттегі канондық координаттар жүйесін салыстырмалы түрде оның теңдеуі құрайды

бірге

Гиперболаның бірдей тармағындағы кез-келген нүкте үшін арақашықтық арасындағы айырмашылық көрсету және көрсету болып табылады

Кез-келген нүкте үшін гиперболаның басқа тармағында сәйкес қатынас болады

яғни

Бірақ бұл нүктелер дегенді білдіреді және екеуі де фокустық нүктелері бар эллипсте және жартылай негізгі ось

Ерікті таңдалған нүктеге сәйкес келетін эллипс 3 суретте көрсетілген.

Болжалды эллиптикалық орбитаға арналған шешім

Біріншіден, бұл жағдайларды бөледі орбиталық полюс бағытта немесе бағытта . Бірінші жағдайда тасымалдау бұрышы бірінші өту үшін аралықта болады ал екінші жағдайда ол интервалда болады . Содан кейін арқылы өтуді жалғастырады әрбір орбиталық революция.

Егер нөлге тең, яғни және бағыттары қарама-қарсы, сәйкес сызығы бар барлық орбиталық жазықтықтар бірдей адекватты және беріліс бұрышы бірінші өту үшін болады .

Кез келген үшін бірге құрған үшбұрыш , және 1-суреттегідей

және гиперболаның жартылай негізгі осі (белгісімен!) жоғарыда қарастырылған

Гипербола үшін эксцентриситет (белгісімен!) Болып табылады

және жартылай минор осі болып табылады

Нүктенің координаттары гипербола үшін канондық координаттар жүйесі салыстырмалы (ескеріңіз белгісі бар )

қайда

Нүктенің у-координатын қолдану гиперболаның басқа тармағында х-координатасының еркін параметрі ретінде болып табылады (ескеріңіз белгісі бар )

Нүктелер арқылы өтетін эллипстің жартылай ірі осі және ошақтары бар және болып табылады

Фокустың арасындағы қашықтық

және эксцентриситет сәйкесінше

Нағыз ауытқу нүктесінде қозғалыс бағытына байланысты, яғни егер оң немесе теріс. Екі жағдайда да бір нәрсе бар

қайда

бастап бағытындағы бірлік вектор болып табылады дейін канондық координаттармен өрнектелген.

Егер оң болса

Егер теріс болса

Бірге

  • жартылай негізгі ось
  • эксцентриситет
  • бастапқы шынайы аномалия

y параметрінің белгілі функциялары болғандықтан, шынайы ауытқудың мөлшерге ұлғаю уақыты у-ның белгілі функциясы болып табылады. Егер ол эллиптикалық Кеплер орбитасымен алынатын диапазонда, сәйкес y мәніне итерациялық алгоритмді қолдану арқылы табуға болады.

Бұл ерекше жағдайда (немесе өте жақын) және екі тармақты гипербола арасындағы сызыққа ортогональды бір сызыққа дейін нашарлайды және теңдеуімен

Содан кейін (11) және (12) теңдеулер ауыстырылады

(14) ауыстырылады

және (15) ауыстырылады

Сандық мысал

Сурет 4: Беру уақыты: р1 = 10000 км: р2 = 16000 км: α Функциясы ретінде = 120 ° ж қашан ж −20000 км-ден 50000 км-ге дейін өзгереді. Жіберу уақыты 20741 секундтан төмендейді ж = −20000 км-ден 2856 секундқа дейін ж = 50000 км. 2856 секундтан 20741 секундқа дейінгі кез-келген мән үшін Ламберт есебін an көмегімен шешуге болады жue20000 км-ден 50000 км-ге дейінгі мән

Жерге бағытталған Кеплер орбитасы үшін келесі мәндерді қабылдаңыз

  • р1 = 10000 км
  • р2 = 16000 км
  • α = 100°

Бұл 1, 2 және 3 суреттеріне сәйкес келетін сандық мәндер.

Параметрді таңдау ж өйткені 30000 км гравитациялық тұрақтылықты ескере отырып, беру уақыты 3072 секундты алады = 398603 км3/ с2. Сәйкес келетін орбиталық элементтер болып табылады

  • жартылай ірі ось = 23001 км
  • эксцентриситет = 0,566613
  • уақыттағы шынайы аномалия т1 = −7.577°
  • уақыттағы шынайы аномалия т2 = 92.423°

Бұл ж-мән 3-суретке сәйкес келеді.

Бірге

  • р1 = 10000 км
  • р2 = 16000 км
  • α = 260°

біреуі қозғалыс бағытына қарама-қарсы бірдей эллипсті алады, яғни.

  • уақыттағы шынайы аномалия т1 = 7.577°
  • уақыттағы шынайы аномалия т2 = 267.577° = 360° − 92.423°

және аудару уақыты - 31645 секунд.

Содан кейін радиалды және тангенциалды жылдамдық компоненттерін формулалармен есептеуге болады (қараңыз Кеплер орбитасы мақала)

Тарату уақыты P1 дейін P2 басқа мәндері үшін ж суретте көрсетілген 4.

Практикалық қосымшалар

Ламберт мәселесін шешу үшін осы алгоритмнің ең әдеттегі қолданылуы планетааралық миссияларды жобалауға арналған. Жерден, мысалы, Марсқа сапар шегетін ғарыш кемесі бірінші жақындау кезінде гелиоцентрлік эллиптикалық Кеплер орбитасын ұшыру кезіндегі Жердің позициясынан Марстың келу сәтіне дейін жүреді деп санауға болады. Осы гелиоцентрлік Кеплер орбитасының бастапқы және соңғы жылдамдық векторын Жер мен Марс үшін тиісті жылдамдық векторларымен салыстыру арқылы қажетті ұшыру энергиясының және Марста ұстап алу үшін қажетті маневрлердің бағасы өте жақсы болады. Бұл тәсіл көбіне -мен бірге қолданылады жамылған конустық жуықтау.

Бұл сондай-ақ арналған орбита анықтау. Егер ғарыш кемесінің әр түрлі уақыттағы екі позициясы жақсы дәлдікпен белгілі болса (мысалы жаһандық позициялау жүйесі түзету) осы алгоритммен толық орбита шығаруға болады, яғни интерполяция және осы екі позицияның экстраполяциясы алынады.

Ашық бастапқы код

MATLAB орталықтан

PyKEP - ғарышқа ұшу механикасы мен астродинамикаға арналған Python кітапханасы (құрамында Ламберттің еріткіші бар, C ++ тілінде іске асады және питонның әсерін арттырады)

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Ланкастер және Р. К.Бланчард, Ламберт теоремасының бірыңғай формасы, Goddard ғарыштық ұшу орталығы, 1968 ж
  2. ^ Джеймс Ф. Джордон, Ламберт теоремасын планетааралық тасымалдау мәселелерін шешуге қолдану, Реактивті қозғалыс зертханасы, 1964 ж

Сыртқы сілтемелер

Ламберт теоремасы аффиналық линза арқылы. Ламберт проблемасы туралы заманауи пікірталас пен тарихи уақыт кестесін қамтитын Ален Албуидің мақаласы. arXiv:1711.03049

Ламберт мәселесін қайта қарау. Дарио Изцоның үй иесінің итеративті әдісі үшін дәл болжау алгоритмі бар, ол Гудингтің процедурасы сияқты дәл және есептеу тиімділігі жоғары. дои:10.1007 / s10569-014-9587-ж