Ақырлы өлшемді алгебралардың тізімі - List of finite-dimensional Nichols algebras - Wikipedia

Математикада а Николс алгебрасы Бұл Хопф алгебрасы ішінде өрілген санат объектіге тағайындалған V осы санатта (мысалы, а өрілген векторлық кеңістік ). Николс алгебрасы - бұл тензор алгебрасы туралы V ләззат алу әмбебап меншік және әдетте шексіз өлшемді болады. Николс алгебралары кез-келген өткір Хопф алгебрасында табиғи түрде кездеседі және маңызды жағдайларда оларды жіктеуге мүмкіндік берді.^[1] Николс алгебралары үшін ең танымал мысалдар - бұл Borel бөлшектері ${ displaystyle U_ {q} ({ mathfrak {g}}) ^ {+}}$ шексіз өлшемді кванттық топтар қашан q бірліктің түбірі емес, ал ақырлы өлшемді алгебралардың алғашқы мысалдары болып табылады Borel бөлшектері ${ displaystyle u_ {q} ({ mathfrak {g}}) ^ {+}}$ Фробениус-Люштиг ядросының (шағын кванттық топ) қашан q бірліктің тамыры.

Келесі мақалада барлық белгілі ақырлы өлшемді алгебралар келтірілген ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ қайда ${ displaystyle V}$ Бұл Yetter – Drinfel'd модулі ақырғы топтың үстінен ${ displaystyle G}$, мұнда топтың қолдауымен жасалады ${ displaystyle V}$. Nichols алгебралары туралы толығырақ ақпаратты қараңыз Николс алгебрасы.

• Екі үлкен жағдай бар:
  • ${ displaystyle G}$ абель, бұл дегеніміз ${ displaystyle V}$ қиғаш өрілген ${ displaystyle x_ {i} otimes x_ {j} mapsto q_ {ij} x_ {j} otimes x_ {i}}$.
  • ${ displaystyle G}$ nonabelian.
• The дәреже бұл қысқартылмаған шақырулар саны ${ displaystyle V = bigoplus _ {i in I} V_ {i}}$ Semitimple Yetter-Drinfel'd модулінде ${ displaystyle V}$.
• The қысқартылмайтын шақырулар ${ displaystyle V_ {i} = { mathcal {O}} _ {[g]} ^ { chi}}$ әрқайсысы а конъюгатия сыныбы ${ displaystyle [g] ішкі жиын G}$ және қысқартылмаған өкілдік ${ displaystyle chi}$ орталықтандырушының ${ displaystyle operatorname {Cent} (g)}$.
• Кез-келген Никольс алгебрасында бар ^[2] тіркелген
  • жалпыланған тамыр жүйесі және Вейл топоидтары. Бұлар жіктеледі.^[3]
  • Сондай-ақ бірнеше Динкин диаграммасы (Вейл камераларының тепе-тең емес түрлері үшін). Әрбір Динкин диаграммасында қысқартылмайтын бір шың бар ${ displaystyle V_ {i}}$ және жиектері олардың өрілген коммутаторларына байланысты Никольс алгебрасында.
• The Гильберт сериясы деңгейлі алгебра ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ берілген. Бақылау - бұл әр жағдайда көбейтіндіні көбейтеді ${ displaystyle (n) _ {t}: = 1 + t + t ^ {2} + cdots + t ^ {n-1}}$. Біз тек Гильберт сериясы мен өлшемін Николс алгебрасының сипаттамасымен береміз ${ displaystyle 0}$.

Николс алгебрасы тек өрілген векторлық кеңістікке байланысты болатындығын ескеріңіз ${ displaystyle V}$ және сондықтан көптеген әр түрлі топтар бойынша жүзеге асырылуы мүмкін. Кейде екі-үш түрлі алгебралар болады ${ displaystyle V}$ және изоморфты емес алгебра, олар бір-бірімен тығыз байланысты (мысалы, бір-бірінің циклдік бұралуы). Оларды бір бағандағы әр түрлі конъюгация кластары береді.

Жіктеу жағдайы

(2015 жылғы жағдай бойынша)

Белгіленген жіктеу нәтижелері

• Комплексті сандардың үстіндегі ақырлы диагональды Николс алгебраларын Хекбербергер жіктеді.^[4] Ерікті сипаттағы іс - Хекбербергердің, Ванның тұрақты жұмысы.^[5]
• Жартылай қарапайым Yetter-Drinfel'd модульдерінің ақырғы өлшемді емес алгебралары шектеулі белгісіз топтарға қарағанда 1 деңгейлі (қолдау арқылы жасалған) Heckenberger және Vendramin-де жіктелген.^[6]

Теріс критерийлер

Нормальды емес топқа қатысты 1 дәрежелі іс (қысқартылмайтын Жеттер - Drinfel'd модулі) әлі де ашық, мысалы аз.

Андрускевич және басқалар Николстың шексіз алгебраларына алып келетін субрактарды (мысалы, диагональды) табу арқылы үлкен жетістіктерге жетті. 2015 жылдан бастап белгілі топтар емес ақырлы өлшемді алгебралар болып табылады ^[7][8]

• үшін ауыспалы топтар ${ displaystyle mathbb {A} _ {n geq 5}}$ ^[9]
• үшін симметриялық топтар ${ displaystyle mathbb {S} _ {n geq 6}}$ мысалдардың қысқаша тізімін қоспағанда^[9]
• кейбіреулері өтірік типтегі топ көпшілігі сияқты ${ displaystyle PSL_ {n} ( mathbb {F} _ {q})}$^[10] және көптеген дәрменсіз сыныптар ${ displaystyle Sp_ {2n} ( mathbb {F} _ {q})}$^[11]
• барлық кездейсоқ топтар барлық ықтимал мүмкіндіктердің қысқаша тізімін қоспағанда (ATLAS белгісіндегі коньюгация кластары) j = 3 квазираль:
  • ... үшін Балықшылар тобы ${ displaystyle Fi_ {22} ;}$ сыныптар ${ displaystyle 22A, 22B ;}$
  • ... үшін балалар монстры тобы B сыныптар ${ displaystyle 16C, ; 16D, ; 32A, ; 32B, ; 32C, ; 32D, ; 34A, ; 46A, ; 46B ;}$
  • ... үшін құбыжықтар тобы М сыныптар ${ displaystyle 32A, ; 32B, ; 46A, ; 46B, ; 92A, ; 92B, ; 94A, ; 94B ;}$

Әдетте, D типіндегі конъюгация кластарының көп мөлшері («жеткілікті коммутативті емес»), ал қалғандары жеткілікті абельдік субрактарды иемденеді және оларды қарастыру арқылы алып тастауға болады. Бірнеше жағдайды қолмен жасау керек. Ашық жағдайларда өте кішкентай орталықтандырғыштар (әдетте циклдік) және ations (әдетте 1-өлшемді белгінің көрінісі) ұсынылыстары бар екенін ескеріңіз. Орталықтандырушы ретінде қолданылатын 16, 32 реттік конъюгация кластары маңызды ерекшеліктер болып табылады р-топтар тапсырыс 2048 респ. 128 және қазіргі уақытта χ бойынша шектеулер жоқ.

Абель топтары

Комплексті сандардың үстіндегі ақырлы диагональды Никольс алгебраларын Хекбербергер жіктеді. ^[4] өру матрицасы тұрғысынан ${ displaystyle q_ {ij}}$, дәлірек мәліметтер ${ displaystyle q_ {ii}, q_ {ij} q_ {ji}}$. Шағын кванттық топтар ${ displaystyle u_ {q} ({ mathfrak {g}}) ^ {+}}$ ерекше жағдай ${ displaystyle q_ {ij} = q ^ {( альфа _ {и}, альфа _ {j})}}$, бірақ 2,3,4,5,7 жай бөлшектеріне қатысты бірнеше ерекше мысалдар бар.

Жақында басқа мысалдарды шектеулі сипаттағы айрықша Ли алгебралары және супер-Ли алгебралары ретінде түсіну алға басуда.

Нонабелді топқа қарағанда, дәрежесі> 1

Коксетер топтарынан шыққан алгебралар

Әрбір соңғы кокстер жүйесі үшін ${ displaystyle (W, S)}$ шағылысулар конъюгациясы класы (-лары) үстіндегі Николс алгебрасы зерттелген ^[12] (әр түрлі ұзындықтағы тамырлар туралы ойлар конъюгацияланбаған, төртінші мысалды қараңыз). Олар осылайша бейабельдік топтар бойынша келесі алғашқы Николстың алгебраларын тапты:

Түбірлік жүйесінің дәрежесі, типі ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {2}}$
Өлшемі ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 6}$	${ displaystyle 10}$	${ displaystyle 2 + 2}$
Николс алгебрасының өлшемдері	${ displaystyle 12}$	${ displaystyle 576 ; = 24 ^ {2}}$	${ displaystyle 8294400}$	${ displaystyle 64}$
Гильберт сериясы	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t}}$	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} ^ {2} (4) _ {t} ^ {2}}$	${ displaystyle (4) _ {t} ^ {4} (5) _ {t} ^ {2} (6) _ {t} ^ {4}}$	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {4} (2) _ {t ^ {2}} ^ {2}}$
Ең кіші топ	Симметриялық топ ${ displaystyle ; mathbb {S} _ {3}}$	Симметриялық топ ${ displaystyle ; mathbb {S} _ {4}}$	Симметриялық топ ${ displaystyle ; mathbb {S} _ {5}}$	Диедралды топ ${ displaystyle ; mathbb {D} _ {4}}$
... және конъюгатия сабақтары	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(1234)} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1}, quad { mathcal {O }} _ {(12)} ^ {- 1 otimes operatorname {sgn}}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1 otimes operatorname {sgn}}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {b} ^ { epsilon} oplus { mathcal {O}} _ {a ^ {2} b} ^ { epsilon}, quad { mathcal {O }} _ {b} ^ {sgn} oplus { mathcal {O}} _ {a ^ {2} b} ^ {sgn}}$
Дереккөз	[12]	[12][13]	[12][14]	[12]
Түсініктемелер	Кирилов – Фомин алгебралары			Бұл 2-ші дәрежелі, ең кішкентай, бейхабар Николс алгебрасы ${ displaystyle Gamma _ {2}}$ жіктеуде.[6][15] Оны шексіз қатардың ең кіші мысалы ретінде құруға болады ${ displaystyle A_ {n}}$ бастап ${ displaystyle A_ {n} cup A_ {n}}$, қараңыз.[16]

Іс ${ displaystyle mathbb {S} _ {2} cong mathbb {Z} _ {2}}$ диагональды 1-ші деңгейлі алгебра болып табылады ${ displaystyle u_ {i} (A_ {1}) ^ {+}}$ 2 өлшемі.

1 дәрежелі басқа Николс алгебралары

Түбірлік жүйесінің дәрежесі, типі ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$
Өлшемі ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 7}$
Николс алгебрасының өлшемдері	${ displaystyle 72}$	${ displaystyle 5,184}$	${ displaystyle 1,280}$	${ displaystyle 326,592}$
Гильберт сериясы	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} (6) _ {t}}$	${ displaystyle (6) _ {t} ^ {4} (2) _ {t ^ {2}} ^ {2}}$	${ displaystyle (4) _ {t} ^ {4} (5) _ {t}}$	${ displaystyle (6) _ {t} ^ {6} (7) _ {t}}$
Ең кіші топ	Арнайы сызықтық топ ${ displaystyle SL_ {2} (3)}$ ауыспалы топты кеңейту ${ displaystyle mathbb {A} _ {4}}$		Аффиндік сызықтық топ ${ displaystyle mathbb {Z} _ {5} rtimes mathbb {Z} _ {5} ^ { times}}$	Аффинді сызықтық топ ${ displaystyle mathbb {Z} _ {7} rtimes mathbb {Z} _ {7} ^ { times}}$
... және конъюгатия сабақтары	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { begin {pmatrix} -1 & 1 0 & -1 end {pmatrix}} ^ {- 1}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}} ^ { zeta _ {6}}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {i rtimes 2} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {i rtimes 3} ^ {- 1}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {i rtimes 3} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {i rtimes 5} ^ {- 1}}$
Дереккөз	[17]	[18]	[13]
Түсініктемелер	Осы Николс алгебрасын қамтитын 2 дәрежелі Николс алгебрасы бар	Тек көптеген кубдық (бірақ көп емес квадраттық) қатынастармен мысал.	Аффинді тіректер

Николлар 2 дәрежелі алгебралар, тип Гамма-3

Бұл Nichols алгебралары Heckenberger және Vendramin классификациясы кезінде табылған.^[19]

			тек 2 сипаттамасында
Түбірлік жүйесінің дәрежесі, типі ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle B_ {2}, B_ {2}}$	${ displaystyle B_ {2}, B_ {2}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -2 - 2 & 2 end {pmatrix}}}$${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -2 - 1 & 2 end {pmatrix}}}$${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -4 - 1 & 2 end {pmatrix}}}$
Өлшемі ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 3 + 2}$	${ displaystyle 3 + 1}$ респ. ${ displaystyle 3 + 2}$	${ displaystyle 3 + 1}$ респ. ${ displaystyle 3 + 2}$
Николс алгебрасының өлшемдері	${ displaystyle 2,304}$	${ displaystyle 10,368}$	${ displaystyle 2,239,488}$
Гильберт сериясы	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} cdot (2) _ {t} ^ {2}}$	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} cdot (6) _ {t}}$${ displaystyle cdot (2) _ {t ^ {2}} ^ {2} (3) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t ^ {3}} (6) _ {t ^ {3}}}$
Ең кішкентай іске асырушы топ және конъюгация сыныбы	${ displaystyle mathbb {S} _ {3} times mathbb {Z} _ {2}}$	${ displaystyle mathbb {S} _ {3} times mathbb {Z} _ {6}}$
... және конъюгатия сабақтары	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1,1} oplus { mathcal {O}} _ { {z }} ^ {1, sigma _ {2} }}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1, zeta _ {6}} oplus { mathcal {O}} _ { {z }} ^ {1, дзета _ {6} ^ {- 1}}}$
Дереккөз	[19]	[19]	[19]
Түсініктемелер	Тек 2 өлшемді қысқартылмайтын көрінісі бар мысал ${ displaystyle sigma}$	Осы Николс алгебрасын кеңейтетін 3 дәрежелі Николс алгебрасы бар	Тек сипаттамасында 2. 6 тамырлы Lie типті емес тамыр жүйесі бар.

Гамма-4 типті 2 дәрежелі Николс алгебрасы

Бұл Николс алгебрасы Геккенбергер мен Вендраминді жіктеу кезінде табылды.^[19]

Тамыр жүйесі	${ displaystyle B_ {2}}$
Өлшемі ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 2 + 4}$
Николс алгебрасының өлшемі	${ displaystyle 262,144 ; = 2 ^ {18}}$
Гильберт сериясы	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (2) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t} ^ {4} (2) _ {t ^ {2}} ^ {2} cdot (2) _ {t ^ {2}} ^ {4} (2 ^ {2}) _ {t ^ {4}} ^ {2} cdot (2) _ {t ^ {3 }} ^ {2} (2) _ {t ^ {6}}}$
Ең кіші топ	${ displaystyle { tilde { mathbb {D}}} _ {8}}$ (жартылай топтық)
... және конъюгатия сыныбы	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {[h]} ^ {- 1} oplus { mathcal {O}} _ {[g]} ^ { zeta _ {8}}}$
Түсініктемелер	Осы Николс алгебрасында қамтылған 1 дәрежелі Николс алгебрасы олардың сәйкесінше ыдырайды: Коксетер тобының үстіндегі Николс алгебрасының сол түйіні ${ displaystyle mathbb {D} _ {4}}$, оң жақ торап диагональды типті алгебрадағы Николс ${ displaystyle A_ {2}}$.

Т типті 2 дәрежелі Николс алгебрасы

Бұл Николс алгебрасы Геккенбергер мен Вендраминді жіктеу кезінде табылды.^[19]

Тамыр жүйесі	${ displaystyle G_ {2}}$
Өлшемі ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 1 + 4}$
Николс алгебрасының өлшемі	${ displaystyle 80,621,568}$
Гильберт сериясы	${ displaystyle (6) _ {t} cdot (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} (6) _ {t} cdot (2) _ {t ^ {2}} ^ {2} (3) _ {t ^ {2}} (6) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t ^ {3}} ^ {2} (3) _ {t ^ {3}} (6) _ {t ^ {3}} cdot (6) _ {t ^ {4}} cdot (6) _ {t ^ {5}}}$
Ең кіші топ	${ displaystyle mathbb {Z} _ {6} times SL_ {2} (3)}$
... және конъюгатия сыныбы	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { {z }} ^ { zeta _ {6}, zeta _ {6} ^ {- 1}} oplus { mathcal {O}} _ { begin {pmatrix} -1 & 1 0 & -1 end {pmatrix}} ^ {1, -1}}$
Түсініктемелер	Осы Николс алгебрасында қамтылған 1-ші дәрежелі Николс алгебрасы оның қолдауымен төмендетілмейді ${ displaystyle SL_ {2} (3)}$ және жоғарыда келтірілген.

Гамма-3 қатысатын 3 дәрежелі Николс алгебрасы

Бұл Николс алгебрасы Геккенбергер мен Вендраминді жіктеу кезінде табылған соңғы Николс алгебрасы болды.^[6]

Тамыр жүйесі	3 дәрежелі 9 саны, 13 түбірден тұрады [3]
Өлшемі ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 3 + 2 + 1}$ респ. ${ displaystyle 3 + 1 + 1}$
Николс алгебрасының өлшемі	${ displaystyle 1,671,768,834,048}$
Гильберт сериясы	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} cdot (6) _ {t} cdot (6) _ {t} cdot (2) _ {t ^ {2 }} ^ {2} (3) _ {t ^ {2}} cdot (6) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t ^ {3}} (6) _ {t ^ {3}} cdot (2) _ {t ^ {3}} ^ {2} (3) _ {t ^ {3}}}$${ displaystyle cdot (2) _ {t ^ {4}} (6) _ {t ^ {4}} cdot (2) _ {t ^ {5}} (6) _ {t ^ {5} } cdot (2) _ {t ^ {6}} ^ {2} (3) _ {t ^ {6}} cdot (6) _ {t ^ {7}} cdot (6) _ {t ^ {8}} cdot (6) _ {t ^ {9}}}$
Ең кіші топ	${ displaystyle mathbb {S} _ {3} times mathbb {Z} _ {6} times mathbb {Z} _ {6}}$
... және конъюгатия сыныбы	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1, zeta _ {6}, 1} oplus { mathcal {O}} _ { {z }} ^ {1 , zeta _ {6} ^ {- 1}, 1} oplus { mathcal {O}} _ { {w }} ^ {1, zeta _ {6}, zeta _ {6} ^ {-1}}}$
Түсініктемелер	Сол жақтағы екі түйін арқылы алынған 2 дәрежелі Николс алгебрасы типке жатады ${ displaystyle Gamma _ {3}}$ және жоғарыда келтірілген. Екі оң жақ түйіндер тудыратын 2-дәрежелі Николс алгебрасы типтің диагональына тең ${ displaystyle A_ {2}}$ немесе ${ displaystyle A_ {3}}$.

Диаграмманың бүктелуінен алынған алгебралар

Никольдер алгебраларының келесі тұқымдарын Лентнер диаграмма бүктеу арқылы салған,^[16] тек 3 сипаттамасында пайда болатын төртінші мысал Хекенбергер мен Вендраминді жіктеу кезінде табылды.^[6]

Құрылыс белгілі Николс алгебрасынан (мұнда кванттық топтарға жататын диагональды) және Динкин диаграммасының қосымша автоморфизмінен басталады. Осыдан екі маңызды жағдай, бұл автоморфизмнің ажыратылған екі көшірмені алмастыруы немесе байланысты Динкин диаграммасының дұрыс диаграмма автоморфизмі. Алынған түбірлік жүйе түпнұсқа түбірлік жүйені бүктеу / шектеу болып табылады.^[20] Құрылысы бойынша генераторлар мен қатынастар диагональды жағдайдан белгілі.

				3. тек сипаттама
Түбірлік жүйесінің дәрежесі, типі ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle A_ {n}, ; n geq 2}$	${ displaystyle D_ {n}, ; n geq 4}$	${ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}}$	${ displaystyle B_ {n}, ; n geq 2}$
Осы диагональмен салынған Никол алгебрасы ${ displaystyle q_ {ij} = pm 1}$	${ displaystyle A_ {n} times A_ {n}}$	${ displaystyle D_ {n} times D_ {n}}$	${ displaystyle E_ {n} times E_ {n}}$	${ displaystyle B_ {n} times B_ {n}}$ сипаттамада 3.
Өлшемі ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$
Николс алгебрасының өлшемдері	${ displaystyle сол жақ (2 ^ {n + 1 таңдау 2} оң) ^ {2}}$	${ displaystyle left (2 ^ {n (n-1)} right) ^ {2}}$	${ displaystyle left (2 ^ {36} right) ^ {2}, ; left (2 ^ {63} right) ^ {2}, ; left (2 ^ {120} right) ^ {2}}$	${ displaystyle left (3 ^ {n (n-1)} 2 ^ {n} right) ^ {2}}$
Гильберт сериясы	Тиісті диагональды Николс алгебрасымен бірдей
Ең кіші топ	Қосымша арнайы топ (респ. арнайы) дерлік ${ displaystyle 2 ^ {n + 1}}$ қоспағанда, элементтер ${ displaystyle D_ {n}, ; 2 | n}$ үлкен орталық тәртібі бар ұқсас топты қажет етеді ${ displaystyle 2 ^ {3}}$.
Дереккөз	[16]			[6]
Түсініктемелер				Шамамен диагональды Николс алгебрасының бүктелуі ${ displaystyle B_ {n}}$ бірге ${ displaystyle q = pm 1}$ бұл 3 сипаттамасында ерекше көрінеді.

Байланысты Динкин диаграммаларының дұрыс автоморфизмдері арқылы келесі екеуі алынады ${ displaystyle {^ {2}} A_ {2n-1}, {^ {2}} E_ {6}}$

Түбірлік жүйесінің дәрежесі, типі ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle C_ {n}, ; n geq 3}$	${ displaystyle F_ {4}}$
Осы диагональмен салынған Никол алгебрасы ${ displaystyle q_ {ij} = pm 1}$	${ displaystyle A_ {2n-1}}$	${ displaystyle E_ {6}}$
Өлшемі ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 1 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 1 + 1 + 2 + 2}$
Николс алгебрасының өлшемдері	${ displaystyle 2 ^ {2n select 2}}$	${ displaystyle 2 ^ {36} = 68,719,476,736}$
Гильберт сериясы	Тиісті диагональды Николс алгебрасымен бірдей	Тиісті диагональды Николс алгебрасымен бірдей ${ displaystyle (2) _ {t} ^ {6} (2) _ {t ^ {2}} ^ {5} (2) _ {t ^ {3}} ^ {5} (2) _ {t ^ {4}} ^ {5} (2) _ {t ^ {5}} ^ {4} (2) _ {t ^ {6}} ^ {3}}$${ displaystyle cdot (2) _ {t ^ {7}} ^ {3} (2) _ {t ^ {8}} ^ {2} (2) _ {t ^ {9}} (2) _ {t ^ {10}} (2) _ {t ^ {11}}}$
Ең кіші топ	Тапсырыс тобы ${ displaystyle 2 ^ {n + 1}}$ тәртіптің үлкен орталығы бар ${ displaystyle 2 ^ {2}}$ респ. ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ (үшін ${ displaystyle n}$ тіпті респ. тақ)	Тапсырыс тобы ${ displaystyle 2 ^ {4 + 1}}$ тәртіптің үлкен орталығы бар ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ яғни ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2} times mathbb {D} _ {4}}$
... және конъюгатия сыныбы		${ displaystyle { mathcal {O}} _ { {z_ {1} }} oplus { mathcal {O}} _ { {z_ {2} }} oplus { mathcal {O}} _ {[x_ {1}]} oplus { mathcal {O}} _ {[y_ {1}]}}$
Дереккөз	[16]

Сияқты бірнеше бүктемелер бар екенін ескеріңіз ${ displaystyle {^ {3}} D_ {4}, {^ {2}} D_ {n}}$ сонымен қатар кейбіреулері Lie типіне жатпайды, бірақ олар топтың пайда болу шарттарын бұзады.

Осы кезге дейін белгілі болған барлық Николс алгебралары бар плакат

(Саймон Лентнер, Гамбург Университеті, осы мәселе бойынша түсініктемелер / түзетулер / тілектер жазуды өтінеміз: simon.lentner uni-hamburg.de сайтында)

Әдебиеттер тізімі