Лоренц қисығы - Lorenz curve

Лоренцтің әдеттегі қисығы

Жылы экономика, Лоренц қисығы графикалық көрінісі болып табылады кірісті бөлу немесе байлық. Ол әзірледі Макс О. Лоренц ұсыну үшін 1905 ж теңсіздік туралы байлықты бөлу.

Қисық - а график жалпы табыстың немесе байлықтың төменгі бөлігі қабылдаған үлесін көрсету хАдамдардың% -ы, бірақ бұл шектеулі халық үшін қатаң түрде дұрыс емес (төменде қараңыз). Ол көбінесе бейнелеу үшін қолданылады кірісті бөлу, ол төменгі жағын көрсетеді хүй шаруашылығының%, қанша пайыз (ж%) олардағы жалпы табыстың. The пайыз үй шаруашылықтары жоспарланған х-аксис, бойынша кірістің пайызы ж-аксис. Ол сонымен қатар таралуын көрсету үшін қолданыла алады активтер. Мұндай қолдануда көптеген экономистер оны шара деп санайды әлеуметтік теңсіздік.

Тұжырымдама индивидтердің мөлшері арасындағы теңсіздікті сипаттауда пайдалы экология[1] және зерттеулерінде биоалуантүрлілік, мұнда түрлердің кумулятивті үлесі даралардың жиынтық пропорциясына қарсы тұрғызылған.[2] Бұл сондай-ақ пайдалы бизнесті модельдеу мысалы: in тұтынушылық қаржыландыру, нақты пайызды өлшеу үшін ж% құқық бұзушылықтар қатысты хЕң нашар адамдар% тәуекел ұпайлары.

Түсіндіру

Лоренц қисығының және 2011 жылғы әлемдік кіріске арналған Джини коэффициентінің шығарылуы

2005 жылғы мәліметтер.

Лоренц қисығының нүктелері «барлық үй шаруашылықтарының төменгі 20% -ында жалпы табыстың 10% -ы бар» деген сияқты тұжырымдарды білдіреді.

Табыстың мүлде тең бөлінуі әр адамның табысы бірдей болатын бөлу болады. Бұл жағдайда төменгі N% қоғам әрқашан болар еді Nкірістің% -ы. Мұны түзу сызық арқылы бейнелеуге болады ж = х; «мінсіз теңдік сызығы» деп атады.

Керісінше, мүлдем тең емес бөлу бір адамның барлық кірісіне ие, ал қалғандарында жоқтың үлесіне тиеді. Бұл жағдайда қисық орнында болады ж = 0% барлығы үшін х <100% және ж = 100% қашан х = 100%. Бұл қисық «мінсіз теңсіздік сызығы» деп аталады.

The Джини коэффициенті - бұл тамаша теңдік сызығы мен бақыланатын Лоренц қисығы арасындағы ауданның мінсіз теңдік сызығы мен мінсіз теңсіздік сызығы арасындағы ауданға қатынасы. Коэффициент неғұрлым жоғары болса, бөлу соғұрлым тең емес болады. Оң жақтағы диаграммада бұл қатынаспен берілген A/(A + B), қайда A және B диаграммада көрсетілгендей аймақтардың аудандары болып табылады.

Анықтама және есептеу

Лоренц қисығы - ықтималдық сызбасы (а P – P сюжеті ) параметрдің популяцияда таралуын осы параметрдің гипотетикалық біркелкі үлестірілуімен салыстыру. Ол әдетте функциямен ұсынылуы мүмкін L(F), қайда F, популяцияның жинақталған бөлігі, көлденең осімен және L, жалпы байлықтың немесе табыстың жинақталған бөлігі, тік осьпен ұсынылған.

Үлкен халық үшін n, мәндер тізбегімен жмен, мен = 1-ден n, төмендемейтін ретпен индекстелген ( жменжмен+1), Лоренц қисығы - болып табылады үздіксіз сызықтық функция нүктелерді қосу ( Fмен, Lмен ), мен = 0-ден n, қайда F0 = 0, L0 = 0, және үшін мен = 1-ден n:

Үшін ықтималдықтың дискретті функциясы f(ж), рұқсат етіңіз жмен, мен = 1-ден n, өсу ретімен индекстелген нөлдік емес ықтималдықтары бар нүктелер ( жмен < жмен+1). Лоренц қисығы - нүктелерді жалғайтын үзік-үзік сызықтық функция ( Fмен, Lмен ), мен = 0-ден n, қайда F0 = 0, L0 = 0, және үшін мен = 1-ден n:

Үшін ықтималдық тығыздығы функциясы f(х) жинақталған үлестіру функциясымен F(х), Лоренц қисығы L береді:

қайда орташа мәнді білдіреді. Лоренц қисығы L (F) содан кейін х параметріндегі параметр ретінде кескінделуі мүмкін: L (x) қарсы F (x). Басқа контексттерде мұнда есептелген мөлшер ұзындықты (немесе өлшемділікті) бөлу деп аталады; сонымен қатар жаңару теориясында оның маңызды рөлі бар.

Сонымен қатар, а жинақталған үлестіру функциясы F(х) кері х(F), Лоренц қисығы L(F) тікелей береді:

Кері х(F) болмауы мүмкін, өйткені үлестірім функциясы тұрақты шамалардың аралықтарына ие. Алайда алдыңғы формула әлі де анықтамасын жалпылау арқылы қолданыла алады х(F):

х(F1) = инф {ж : F(ж) ≥ F1}

Лоренц қисығының мысалы үшін қараңыз Паретоның таралуы.

Қасиеттері

Лоренц қисығының практикалық мысалы: Дания, Венгрия және Намибияның Лоренц қисықтары

Лоренц қисығы әрқашан (0,0) -дан басталып, (1,1) -ге аяқталады.

Лоренц қисығы анықталмайды, егер ықтималдықтар үлестірімінің орташа мәні нөлге немесе шексіз болса.

Ықтималдықты үлестіруге арналған Лоренц қисығы а үздіксіз функция. Алайда, үзіліссіз функцияларды бейнелейтін Лоренцтің қисықтарын ықтималдық үлестірулерінің Лоренц қисықтарының шегі ретінде құруға болады, бұл кезде теңсіздіктің тамаша сызығы мысал бола алады.

Лоренцтің қисық сызығындағы ақпарат келесі жолдармен қорытылуы мүмкін Джини коэффициенті және Лоренцтің асимметрия коэффициенті.[1]

Лоренц қисығы мінсіз теңдік сызығынан жоғары көтеріле алмайды.

Егер өлшенетін айнымалы теріс мәндерді қабылдай алмаса, Лоренц қисығы:

  • мінсіз теңсіздік сызығынан төмен батып кете алмайды,
  • болып табылады ұлғаюда.

Лоренцтің қисық сызығына назар аударыңыз таза құндылық қарыздың салдарынан кейбір адамдардың теріс салмағы болғандығына байланысты негативтен басталады.

Лоренц қисығы оң масштабта инвариантты. Егер X кез келген оң сан үшін кездейсоқ шама c кездейсоқ шама c X сияқты Лоренцтің қисығы бар X.

Лоренц қисығы екі рет, бір рет F = 0,5 және бір рет айналдырылады L = 0,5, теріске шығару арқылы. Егер X - Лоренц қисығы бар кездейсоқ шама LX(F), содан кейін -X Лоренцтің қисығы бар:

LX = 1 − L X(1 − F)

Лоренцтің қисығы аудармалардың көмегімен теңдік алшақтығы өзгереді F − L(F) түпнұсқа мен аударылған құралдардың арақатынасына пропорционалды түрде өзгереді. Егер X - Лоренц қисығы бар кездейсоқ шама L X(F) және білдіреді μ X, содан кейін кез-келген тұрақты үшін c ≠ −μ X, X + c Лоренцтің қисығы бар:

Кумулятивтік үлестіру функциясы үшін F(х) орташа мәнмен μ және (жалпыланған) кері х(F), содан кейін кез-келген үшін F 0 < F < 1 :

  • Егер Лоренц қисығы ажыратылатын болса:
  • Егер Лоренц қисығы екі рет дифференциалданатын болса, онда ықтималдық тығыздығы функциясы f(х) сол уақытта бар және:
  • Егер L(F) үздіксіз дифференциалданады, содан кейін тангенсі L(F) нүктесінде мінсіз теңдік сызығына параллель F(μ). Бұл сондай-ақ теңдік алшақтығы F − L(F), Лоренц қисығы мен мінсіз теңдік сызығы арасындағы тік қашықтық ең үлкен. Саңылаудың мөлшері туыстың жартысына тең абсолютті ауытқуды білдіреді:

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б Дамгард, христиан; Джейкоб Вайнер (2000). «Өсімдіктің көлеміндегі немесе ұрықтылығындағы теңсіздікті сипаттау». Экология. 81 (4): 1139–1142. дои:10.1890 / 0012-9658 (2000) 081 [1139: DIIPSO] 2.0.CO; 2.
  2. ^ Виттеболь, Ливен; т.б. (2009). «Бастапқы қауымдастық біркелкі стресс жағдайындағы функционалдылықты қолдайды». Табиғат. 458 (7238): 623–626. Бибкод:2009 ж.т.458..623W. дои:10.1038 / табиғат07840. PMID  19270679.

Әрі қарай оқу

  • Lorenz, M. O. (1905). «Байлық концентрациясын өлшеу әдістері». Американдық статистикалық қауымдастықтың басылымдары. Американдық статистикалық қауымдастықтың басылымдары, т. 9, № 70. 9 (70): 209–219. Бибкод:1905PAmSA ... 9..209L. дои:10.2307/2276207. JSTOR  2276207.
  • Гаствирт, Джозеф Л. (1972). «Лоренцтің қисығы мен Джини индексін бағалау». Экономика және статистикаға шолу. Экономика және статистикаға шолу, т. 54, №3. 54 (3): 306–316. дои:10.2307/1937992. JSTOR  1937992.
  • Чакраварти, С.Р (1990). Этикалық әлеуметтік индекс сандары. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-52274-3.
  • Ананд, Судхир (1983). Малайзиядағы теңсіздік пен кедейлік. Нью-Йорк: Оксфорд университетінің баспасы. ISBN  0-19-520153-1.

Сыртқы сілтемелер