Бір қалыпты қалыпты кеңістік - Monotonically normal space

Математикада а монотонды қалыпты кеңістік ерекше түрі болып табылады қалыпты кеңістік, кейбір ерекше сипаттамалары бар және ол тұқым қуалайтын қалыпты, және кез-келген екі бөлінген ішкі жиындар қатты бөлінеді. Олар монотонды қалыптылық операторы тұрғысынан анықталады.

A ${displaystyle T_ {1}}$ топологиялық кеңістік ${displaystyle (X, {mathcal {T}})}$ деп айтылады бір қалыпты қалыпты егер келесі шарт орындалса:

Әрқайсысы үшін ${displaystyle xin G}$, G ашық жерде ашық жиын бар ${displaystyle mu (x, G)}$ осындай

1. ${displaystyle xin mu (x, G) ішкі топтама G}$
2. егер ${displaystyle mu (x, G) cap mu (y, H) eq emptyset}$ содан кейін де ${displaystyle xin H}$ немесе ${displaystyle yin G}$.

Монотондылықтың эквивалентті критерийлері бар.

Эквивалентті анықтамалар

Анықтама 2

Х кеңістігі, егер ол болса, монотонды қалыпты деп аталады ${displaystyle T_ {1}}$ және ажыратылған жабық ішкі жиындардың әр жұбы үшін ${displaystyle A, B}$ ашық жиынтық бар ${displaystyle G (A, B)}$ қасиеттерімен

1. ${displaystyle Asubseteq G (A, B) қосалқы G (A, B) ^ {-} X subsetq X ackslash B}$ және
2. ${displaystyle G (A, B) ішкі топтама G (A ', B')}$, қашан болса да ${displaystyle Asubseteq A '}$ және ${displaystyle B'subseteq B}$.

Бұл оператор ${displaystyle G}$ аталады монотонды қалыпты оператор.

Егер G монотонды қалыпты оператор болса, онда екенін ескеріңіз ${displaystyle {ilde {G}}}$ арқылы анықталады ${displaystyle {ilde {G}} (A, B) = G (A, B) acleslash G (B, A) ^ {-}}$ сонымен қатар монотонды қалыпты оператор; және ${displaystyle {ilde {G}}}$ қанағаттандырады

${displaystyle {egin {aligned} {ilde {G}} (A, B) cap {ilde {G}} (B, A) = emptyset end {aligned}}}$

Осы себепті біз жоғарыда көрсетілген талапты қанағаттандыру үшін біршама уақыттық монотондылық операторын аламыз; және бұл кейбір теоремалардың дәлелденуіне және анықтамалардың эквиваленттілігіне ықпал етеді.

Анықтама 3

Х кеңістігі, егер ол болса, монотонды қалыпты деп аталады ${displaystyle T_ {1}}$, және X қосындысының әр жұбына (A, B), бірге ${displaystyle Acap B ^ {-} = emptyset = Bcap A ^ {-}}$, X-нің ашық ішкі жиынын (A, B) осылай тағайындауға болады

1. ${displaystyle Asubseteq G (A, B) ішкі топтама G (A, B) ^ {-} subsetiq X ackslash B,}$
2. ${displaystyle G (A, B) қосалқы G (A ', B') {mbox {қашан болса}} Asubseteq A '{mbox {және}} B'subseteq B}$.

Анықтама 4

Х кеңістігі, егер ол болса, монотонды қалыпты деп аталады ${displaystyle T_ {1}}$ және әрбір реттелген жұпқа (p, C) тағайындайтын H функциясы бар, мұнда C жабық және p C -сіз, ашық H (p, C) жиынтығы:

1. ${displaystyle pin H (p, C) subseteq X ackslash C}}$
2. егер D жабық болса және ${Csupseteq ішіндегі displaystyle кастрөлі}$ содан кейін ${displaystyle H (p, C) ішкі топтама H (p, D)}$
3. егер ${displaystyle peq q}$ X нүктелері, содан кейін ${displaystyle H (p, {q}) H H (q, {p}) = emptyset}$.

Қасиеттері

Бұл кеңістіктің маңызды мысалы, егер таңдау аксиомасын алсақ, сызықты реттелген кеңістіктер болады; дегенмен, ол шынымен де қажет таңдау аксиомасы ерікті сызықтық тәртіп болуы үшін қалыпты (ван Дувеннің қағазын қараңыз). Кез келген жалпыланған метрика монотонды қалыпты болса да, таңдау жасалмайды. Монотонды қалыпты кеңістіктің маңызды қасиеті - кез-келген екі бөлінген ішкі жиынның онда қатты бөлінуі. Монотонды қалыптылық - бұл тұқым қуалаушылық қасиет, ал монотонды қалыпты кеңістік екінші эквиваленттік анықтаманың бірінші шарты бойынша әрқашан қалыпты болады.

Біз кейбір қасиеттерді келтіреміз:

1. A жабық карта монотонды қалыптылықты сақтайды.
2. Монотонды қалыпты кеңістік тұқым қуалайды жинау қалыпты.
3. Серпімді кеңістіктер бір қалыпты болып келеді.

Кейбір пікірталас сілтемелері

• Хит, Р.В .; Люцер, Дж .; Zenor, P. L. (сәуір, 1973). «Бір қалыпты қалыпты кеңістіктер» (PDF). Американдық математикалық қоғамның операциялары. 178: 481–493. дои:10.2307/1996713. JSTOR  1996713.
• Борхес, Карлос Р. (наурыз 1973). «Бір қалыпты қалыпты кеңістікті зерттеу» (PDF). Американдық математикалық қоғамның еңбектері. 38 (1): 211–214. дои:10.2307/2038799. JSTOR  2038799.
• ван Дувен, Эрик К. (Қыркүйек 1985). «Айнымалы токсыз топологияның үрейі: қалыптан тыс реттелген кеңістік» (PDF). Американдық математикалық қоғамның еңбектері. 95 (1): 101–105. дои:10.2307/2045582. JSTOR  2045582.
• Gartside, P. M. (1997). «Монотонды қалыпты кеңістіктің кардиналды инварианттары». Топология және оның қолданылуы. 77 (3): 303–314. дои:10.1016 / s0166-8641 (96) 00086-7.
• Хенно Брандсманың топология атласындағы монотонды норма туралы пікірталасын көруге болады Мұнда