Шектелген өкілдік - Restricted representation

Жылы топтық теория, шектеу құрайды өкілдік а кіші топ бүтіннің белгілі көрінісін қолдану арқылы топ. Шектеу - бұл топтардың өкілдік теориясындағы іргелі құрылыс. Көбінесе шектеулі ұсынуды түсіну оңай. An шектеулерін ыдырату ережелері қысқартылмаған өкілдік кіші топтың қысқартылған көріністеріне тармақталған ережелер деп аталады және оларда маңызды қосымшалар бар физика. Мысалы, жағдайда симметрияның айқын бұзылуы, симметрия тобы мәселенің жалпы топтан оның кіші топтарының біріне дейін азаяды. Жылы кванттық механика, бұл симметрияның төмендеуі бөліну түрінде пайда болады деградацияланған энергетикалық деңгейлер ішіне мультиплеттер, сияқты Старк немесе Зиман эффектісі.

The ұсынылған өкілдік кіші топтың ұсынуынан бүкіл топтың көрінісін құрайтын байланысты операция. Шектеу мен индукция арасындағы байланыс сипатталады Фробениустың өзара қарым-қатынасы және Макки теоремасы. A-ға шектеу қалыпты топша өзін жақсы ұстайды және жиі аталады Клиффорд теориясы теоремасынан кейін А. Х. Клиффорд.^[1] Шектеу басқасына жалпылануы мүмкін топтық гомоморфизмдер және басқаларына сақиналар.

Кез-келген топ үшін G, оның кіші топ Hжәне а сызықтық ұсыну ρ туралы G, шектеу ρ дейін H, деп белгіленді

${ displaystyle rho , { Big |} _ {H}}$

болып табылады H сол сияқты векторлық кеңістік сол операторлармен:

${ displaystyle rho , { Big |} _ {H} (h) = rho (h).}$

Классикалық тармақталу ережелері

Классикалық тармақталу ережелері қысқартылмайтын кешенді ұсынудың шектелуін сипаттаңыз (π, V) а классикалық топ G классикалық кіші топқа H, яғни азайтуға болмайтын бейнеленетін еселік (σ, W) of H пайда боладыπ. Фробениустың өзара қарым-қатынасы бойынша ықшам топтар, бұл еселік мәнді табуға тең π ішінде унитарлы өкілдік σ бастап. Классикалық топтардың тармақталу ережелері анықталды

• Вейл (1946) арасындағы унитарлық топтар;
• Мурнаган (1938) арасындағы арнайы ортогоналды топтар және унитарлық симплектикалық топтар;
• Литтвуд (1950) унитарлық топтардан унитарлық симплектикалық топтарға және арнайы ортогоналды топтарға.

Нәтижелер әдетте графикалық түрде көрсетіледі Жас сызбалар таныс болып табылатын қысқартылмаған ұсыныстарды белгілеу үшін классикалық түрде қолданылатын қолтаңбаларды кодтау үшін классикалық инварианттық теория. Герман Вейл және Ричард Брауэр топтар болған кезде тармақталу ережесін анықтайтын жүйелі әдісті тапты G және H ортақ бөлісу максималды торус: бұл жағдайда Weyl тобы туралы H тобының кіші тобы болып табылады G, ережені Вейл символының формуласы.^[2][3] Жүйелі заманауи интерпретация берілген Хоу (1995) оның теориясының контекстінде қос жұп. Case - бұл тривиальды көрініс H алғаш рет кеңінен қолданылған Хуа өзінің жұмысында Szegő ядролары туралы шектелген симметриялық домендер жылы бірнеше күрделі айнымалылар, қайда Шилов шекарасы формасы бар G/H.^[4][5] Жалпы алғанда Картан-Гельгасон теоремасы қашан ыдырау береді G/H ықшам симметриялық кеңістік, бұл жағдайда барлық еселіктер бір болады;^[6] ерікті σ-ге жалпылау содан бері алынған Костант (2004). Осыған ұқсас геометриялық ой-пікірлер де қолданылған Кнапп (2005) harvtxt қатесі: мақсат жоқ: CITEREFKnapp2005 (Көмектесіңдер) Литтвудтың атап өтілетін ережелерін өзгертуге Литтвуд-Ричардсон ережелері унитарлық топтардың төмендетілмеген өкілдіктерін тензорлау үшін.Литтельманн (1995) өзінің ережелерін қолдана отырып, ерікті ықшам жартылай қарапайым Lie топтарына жалпылау тапты жол моделі, теориясына рухымен жақын ұсыну теориясына көзқарас кристалды негіздер туралы Луштиг және Кашивара. Оның әдістері максималды торусы бар кіші топтарға шектеулердің тармақталған ережелерін ұсынады. Тармақталу ережелерін зерттеу классикалық инвариантты теорияда және оның қазіргі заманғы аналогында маңызды, алгебралық комбинаторика.^[7][8]

Мысал. Унитарлық топ U(N) қолтаңбалармен таңбаланған қысқартылған ұсыныстарға ие

${ displaystyle mathbf {f} , қос нүкте , f_ {1} geq f_ {2} geq cdots geq f_ {N}}$

қайда f_мен бүтін сандар. Егер унитарлы матрица болса U меншікті мәндері бар з_мен, содан кейін сәйкес төмендетілмейтін ұсыныстың сипаты π_f арқылы беріледі

${ displaystyle operatorname {Tr} pi _ { mathbf {f}} (U) = { det z_ {j} ^ {f_ {i} + Ni} over prod _ {i$

Тармақталу ережесі U(N) дейін U(N - 1) дейді

${ displaystyle pi _ { mathbf {f}} | _ {U (N-1)} = bigoplus _ {f_ {1} geq g_ {1} geq f_ {2} geq g_ {2} geq cdots geq f_ {N-1} geq g_ {N-1} geq f_ {N}} pi _ { mathbf {g}}}$

Мысал. Унитарлық симплектикалық топ немесе кватернионды унитарлық топ, Sp деп белгіленді (N) немесе U(N, H), барлық түрлендірулерінің тобы болып табыладыH^N оңға көбейту арқылы жүру кватерниондар H және сақтау H- бағаланатын гермиттік ішкі өнім

${ displaystyle (q_ {1}, ldots, q_ {N}) cdot (r_ {1}, ldots, r_ {N}) = sum r_ {i} ^ {*} q_ {i}}$

қосулы H^N, қайда q* кватернион конъюгатын білдіреді q. Кватерниондарды 2 x 2 күрделі матрицалар ретінде жүзеге асыратын Sp тобыN) жай ғана матрицалар (q_иж) SU-да (2N) бірге

${ displaystyle q_ {ij} = { begin {pmatrix} alpha _ {ij} & beta _ {ij} - { overline { beta}} _ {ij} & { overline { alpha} } _ {ij} end {pmatrix}},}$

қайда α_иж және β_иж болып табылады күрделі сандар.

Әр матрица U Sp (N) жазбалары бар блоктық диагональды матрицаға конъюгатта болады

${ displaystyle q_ {i} = { begin {pmatrix} z_ {i} & 0 0 & { overline {z}} _ {i} end {pmatrix}},}$

қайда |з_мен| = 1. Осылайша меншікті мәндері U болып табылады (з_мен^±1). Sp-тің қысқартылған көріністері (N) қолтаңбалармен белгіленеді

${ displaystyle mathbf {f} , қос нүкте , f_ {1} geq f_ {2} geq cdots geq f_ {N} geq 0}$

қайда f_мен бүтін сандар. Сәйкес төмендетілмейтін ұсыныстың сипаты σ_f арқылы беріледі^[9]

${ displaystyle operatorname {Tr} sigma _ { mathbf {f}} (U) = { det z_ {j} ^ {f_ {i} + N-i + 1} -z_ {j} ^ {- f_ {i} -N + i-1} over prod (z_ {i} -z_ {i} ^ {- 1}) cdot prod _ {i$

Sp (тармақталу ережесі)N) дейін Sp (N - 1) дейді^[10]

${ displaystyle sigma _ { mathbf {f}} | _ { mathrm {Sp} (N-1)} = bigoplus _ {f_ {i} geq g_ {i} geq f_ {i + 2} } m ( mathbf {f}, mathbf {g}) sigma _ { mathbf {g}}}$

Мұнда f_{N + 1} = 0 және көптік м(f, ж) арқылы беріледі

${ displaystyle m ( mathbf {f}, mathbf {g}) = prod _ {i = 1} ^ {N} (a_ {i} -b_ {i} +1)}$

қайда

${ displaystyle a_ {1} geq b_ {1} geq a_ {2} geq b_ {2} geq cdots geq a_ {N} geq b_ {N} = 0}$

2-нің өспейтін қайта құрылымы болып табыладыN теріс емес бүтін сандар (f_мен), (ж_j) және 0.

Мысал. U тармақталуы (2N) дейін Sp (N) екі сәйкестікке сүйенеді Литтлвуд:^{[11][12][13][14]}

${ displaystyle { begin {aligned} & sum _ {f_ {1} geq f_ {2} geq f_ {N} geq 0} operatorname {Tr} Pi _ { mathbf {f}, 0 } (z_ {1}, z_ {1} ^ {- 1}, ldots, z_ {N}, z_ {N} ^ {- 1}) cdot operatorname {Tr} pi _ { mathbf {f }} (t_ {1}, ldots, t_ {N}) [5pt] = {} & sum _ {f_ {1} geq f_ {2} geq f_ {N} geq 0} оператор атауы {Tr} sigma _ { mathbf {f}} (z_ {1}, ldots, z_ {N}) cdot оператордың аты {Tr} pi _ { mathbf {f}} (t_ {1} , ldots, t_ {N}) cdot prod _ {i$

қайда Π_f,0 болып табылады U(2N) қолымен f₁ ≥ ··· ≥ f_N ≥ 0 ≥ ··· ≥ 0.

${ displaystyle prod _ {i$

қайда f_мен ≥ 0.

U тармақталу ережесі (2N) дейін Sp (N) арқылы беріледі

${ displaystyle Pi _ { mathbf {f}, 0} | _ { mathrm {Sp} (N)} = bigoplus _ { mathbf {h}, , , mathbf {g}, , , g_ {2i-1} = g_ {2i}} M ( mathbf {g}, mathbf {h}; mathbf {f}) sigma _ { mathbf {h}}}$

мұнда барлық қолтаңба теріс емес және коэффициент М (ж, сағ; к) - бұл төмендетілмейтін ұсынудың көптігі π_к туралы U(N) тензор көбейтіндісінде π_ж ${ displaystyle otimes}$ π_сағ. Ол Литтвуд-Ричардсон ережесімен комбинативті түрде берілген, тордың орын ауыстыру саны қисықтық диаграмма к/сағ салмақ ж.^[8]

Литтелвудтың тармақталған ережесінің ерікті қолтаңбаға байланысты кеңеюі бар Сундарам (1990, б. 203) Литтлвуд-Ричардсон коэффициенттері М (ж, сағ; f) қол қоюға мүмкіндік беру үшін ұзартылады f 2 болуы керекN бөлшектер, бірақ шектеу ж бірдей баған ұзындықтары болуы керек (ж_{2мен – 1} = ж_2мен). Бұл жағдайда формула оқылады

${ displaystyle Pi _ { mathbf {f}} | _ { оператордың аты {Sp} (N)} = bigoplus _ { mathbf {h}, , , mathbf {g}, , , g_ {2i-1} = g_ {2i}} M_ {N} ( mathbf {g}, mathbf {h}; mathbf {f}) sigma _ { mathbf {h}}}$

қайда М_N (ж, сағ; f) тордың орын ауыстыру санын есептейді f/сағ салмақ ж үшін есептеледі 2j + 1 жолдан төмен емес пайда болады N + j туралы f 1 for үшін j ≤ |ж|/2.

Мысал. SO арнайы ортогоналды тобы (N) қысқартылмайтын қарапайым және спиндік өкілдіктер қолымен таңбаланған^{[2][7][15][16]}

• ${ displaystyle f_ {1} geq f_ {2} geq cdots geq f_ {n-1} geq | f_ {n} |}$ үшін N = 2n;
• ${ displaystyle f_ {1} geq f_ {2} geq cdots geq f_ {n} geq 0}$ үшін N = 2n+1.

The f_мен қабылданады З қарапайым өкілдіктер үшін және ½ + З спиндік бейнелеу үшін. Егер ортогональ матрица болса U меншікті мәндері бар з_мен^±1 1 for үшін мен ≤ n, содан кейін сәйкес төмендетілмейтін ұсыныстың сипаты π_f арқылы беріледі

${ displaystyle operatorname {Tr} , pi _ { mathbf {f}} (U) = { det (z_ {j} ^ {f_ {i} + ni} + z_ {j} ^ {- f_ {i} -n + i}) over prod _ {i$

үшін N = 2n және арқылы

${ displaystyle operatorname {Tr} pi _ { mathbf {f}} (U) = { det (z_ {j} ^ {f_ {i} + 1/2 + ni} -z_ {j} ^ { -f_ {i} -1 / 2-n + i}) over prod _ {i$

үшін N = 2n+1.

SO-дан тармақталу ережелері (N) SO-ға (N - 1) мәлімдейді^[17]

${ displaystyle pi _ { mathbf {f}} | _ {SO (2n)} = bigoplus _ {f_ {1} geq g_ {1} geq f_ {2} geq g_ {2} geq cdots geq f_ {n-1} geq g_ {n-1} geq f_ {n} geq | g_ {n} |} pi _ { mathbf {g}}}$

үшін N = 2n + 1 және

${ displaystyle pi _ { mathbf {f}} | _ {SO (2n-1)} = bigoplus _ {f_ {1} geq g_ {1} geq f_ {2} geq g_ {2} geq cdots geq f_ {n-1} geq g_ {n-1} geq | f_ {n} |} pi _ { mathbf {g}}}$

үшін N = 2n, мұнда айырмашылықтар f_мен − ж_мен бүтін сандар болуы керек.

Гельфанд - Цетлин негізі

Тармақталу ережесі бастап U(N) U-ге (N - 1) немесе SO (N) SO-ға (N - 1) еселігі бар, кішірейтілген және кішіге сәйкес келетін қысқартылмайтын жиынтық N сайып келгенде бір өлшемді ішкі кеңістіктерде аяқталады. Сөйтіп Гельфанд және Цетлин U-дің кез-келген қысқартылмаған негізін ала алды (N) немесе SO (N) аралық қолтаңбалар тізбегімен таңбаланған, а деп аталады Гельфанд - Цетлин үлгісі.Лиге алгебраның әсер етуінің нақты формулалары Гельфанд - Цетлин негізі берілген Lobелобенко (1973).

Sp қалған классикалық тобы үшін (N), тармақталу бұдан былай еселік болмайды, сондықтан V және W Sp-дің қысқартылған көрінісі болып табылады (N - 1) және Sp (N) Хомды өзара байланыстыратын кеңістік_{Sp (N – 1)}(V,W) өлшемі бірден үлкен болуы мүмкін. Бұл Янгиан Y(${ displaystyle { mathfrak {gl}}}$₂), а Хопф алгебрасы енгізген Людвиг Фаддеев және серіктестер, осы көптік кеңістікке қысқартылмайтын әсер етеді, бұл мүмкіндік берді Молев (2006) Гельфанд-Цетлин базаларының құрылысын Sp (дейін созу)N).^[18]

Клиффорд теоремасы

1937 жылы Альфред Х. Клиффорд топтан ақырлы өлшемді азайтылмайтын көріністерді шектеу туралы келесі нәтижені дәлелдеді G қалыпты кіші топқа N ақырлы индекс:^[19]

Теорема. Келіңіздер π: G ${ displaystyle rightarrow}$ GL (n,Қ) көмегімен қысқартылмайтын ұсыныс болуы мүмкін Қ а өріс. Содан кейін π дейін N -ның теңдестірілмейтін кескіндерінің тікелей қосындысына бөлінеді N тең өлшемді. Бұл қысқартылған көріністер N әрекеті үшін бір орбитада жату G эквиваленттілік кластары бойынша конъюгациясы арқылы төмендетілмейтін көріністер N. Атап айтқанда, нақты шақыртулар саны индексінен үлкен емес N жылыG.

Жиырма жылдан кейін Джордж Макки қысқартылмаған шектеу үшін осы нәтиженің дәл нұсқасын тапты унитарлық өкілдіктер туралы жергілікті ықшам топтар «Mackey machine» немесе «Mackey normal subgroup талдауы» деген атқа ие болған жабық қалыпты топтарға.^[20]

Абстрактілі алгебралық параметр

Тұрғысынан категория теориясы, шектеу а ұмытшақ функция. Бұл функция дәл және оның сол жақ функционал аталады индукция. Шектеу мен индукция арасындағы байланысты әр түрлі жағдайда Фробениустың өзара байланысы деп атайды. Индукция мен шектеу операциялары біріктіріліп, бейнелеуді талдауға арналған қуатты құралдар жиынтығын құрайды. Бұл, әсіресе, ұсыныстар қасиетіне ие болған кезде жиі кездеседі толық төмендетілу, мысалы, ақырғы топтардың өкілдік теориясы астам өріс туралы сипаттамалық нөл.

Жалпылау

Бұл айтарлықтай айқын құрылыс көптеген және маңызды тәсілдермен кеңейтілуі мүмкін. Мысалы, біз гомоморфизмнің кез-келген тобын аламыз H дейін G, орнына қосу картасы, және шектеулі ұсынылымын анықтаңыз H құрамы бойынша

${ displaystyle rho circ varphi ,}$

Идеяны басқа санаттарға да қолдануға болады абстрактілі алгебра: ассоциативті алгебралар, сақиналар, Алгебралар, Lie superalgebras, Хопф алгебралары. Өкілдіктер немесе модульдер шектеу субобъекттерге немесе гомоморфизмдер арқылы.

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Гудман, Ро; Уоллач, Нолан (1998), Классикалық топтардың өкілдіктері мен инварианттары, Математика энциклопедиясы. Қолданба, 68, Кембридж университетінің баспасы
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциалдық геометрия, Өтірік топтары және симметриялық кеңістіктер, Academic Press
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Топтар және геометриялық талдау: Интегралдық геометрия, инвариантты дифференциалдық операторлар және сфералық функциялар, Таза және қолданбалы математика, 113, Academic Press, ISBN  978-0-12-338301-3
• Хоу, Роджер (1995), Инвариантты теорияның перспективалары, Шур дәрістері, 1992 ж, Израиль математикасы. Конф. Proc., 8, Американдық математикалық қоғам, 1–182 бб
• Хоу, Роджер; Тан, Энг-Чи; Уилленбринг, Джеб Ф. (2005), «Классикалық симметриялы жұптардың орнықты тармақталу ережелері», Транс. Amer. Математика. Soc., 357 (4): 1601–1626, дои:10.1090 / S0002-9947-04-03722-5
• Хуа, Л.К. (1963), Классикалық облыстардағы бірнеше күрделі айнымалылардың функцияларын гармоникалық талдау, Американдық математикалық қоғам
• Кнапп, Энтони В. (2003), «Д. Э. Литлвудтың екі тармақталған теоремасының геометриялық интерпретациясы», Алгебра журналы, 270 (2): 728–754, дои:10.1016 / j.jalgebra.2002.11.001
• Коике, Казухико; Терада, Итару (1987), «В типті классикалық топтардың бейнелеу теориясының жас-диаграммалық әдістері_n, C_n, Д._n", Алгебра журналы, 107 (2): 466–511, дои:10.1016/0021-8693(87)90099-8
• Костант, Бетрам (2004), Борел-Вейл теоремасының ықшам емес аналогы және инволюциямен бекітілген кіші топтарға арналған тармақталған заң, Прогр. Математика., 220, Бирхязер, 291–353 б., arXiv:math.RT / 0205283, Бибкод:2002ж. ...... 5283K
• Литтельман, Петр (1995), «Өкілдік теориясындағы жолдар мен тамыр операторлары», Математика жылнамалары, 142 (3): 499–525, дои:10.2307/2118553, JSTOR  2118553
• Литтлвуд, Дадли Э. (1950), «Топтық кейіпкерлер теориясы және топтардың матрицалық бейнелері», Табиғат, 146 (3709): 699, Бибкод:1940 ж. 146 ж, дои:10.1038 / 146699a0
• Макдональд, Ян Г. (1979), Симметриялық функциялар және залдағы көпмүшелер, Оксфорд университетінің баспасы
• Молев, А. (1999), «Симплектикалық Ли алгебраларын ұсынудың негізі», Комм. Математика. Физ., 201 (3): 591–618, arXiv:математика / 9804127, Бибкод:1999CMaPh.201..591M, дои:10.1007 / s002200050570
• Молев, А. (2006), «Гельфанд-Цетлин негіздері классикалық алгебраларға арналған» «Алгебраның анықтамалығында», т. 4, (M. Hazewinkel, Ed.), Elsevier, Pp. 109-170, Алгебра туралы анықтама, Elsevier, 4: 109–170, arXiv:математика / 0211289, Бибкод:2002ж. ..... 11289М, ISBN  978-0-444-52213-9
• Мурнаган, Фрэнсис Д. (1938), Топтық бейнелеу теориясы, Джон Хопкинс Пресс
• Сланский, Ричард (1981), «Бірыңғай модельдік құрылыстың топтық теориясы», Физика бойынша есептер, 79 (1): 1–128, Бибкод:1981PhR .... 79 .... 1S, CiteSeerX  10.1.1.126.1581, дои:10.1016/0370-1573(81)90092-2 Интернетте қол жетімді
• Сундарам, Шейла (1990), «Tableaux классикалық өтірік топтарының өкілдік теориясындағы», Математика институты және оны қолдану, IMA Vol. Математика. Қолданба, 19: 191–225, Бибкод:1990IMA .... 19..191S
• Вейл, Герман (1946), Классикалық топтар, Принстон университетінің баспасы
• Lobелобенко, Д. П. (1973), Compact Lie топтары және олардың көріністері, Математикалық монографиялардың аудармалары, 40, Американдық математикалық қоғам