Smales проблемалары - Smales problems - Wikipedia

Смэйлдің проблемалары он сегіз тізім математикадағы шешілмеген есептер ұсынған Стив Смэйл 1998 жылы,[1] 1999 жылы қайта басылды.[2] Smale бұл тізімді сұрауға жауап ретінде жасады Владимир Арнольд, содан кейін вице-президент Халықаралық математикалық одақ, ол бірнеше математиктерден ХХІ ғасырға арналған есептердің тізімін ұсынуды сұрады. Арнольдтың шабыты тізімнен шыққан Гильберттің проблемалары басында жарияланған болатын.

Мәселелер кестесі

МәселеҚысқаша түсініктемеКүйЖыл шешілді
1-шіРиман гипотезасы: Riemann zeta функциясының әрбір тривиал емес нөлінің нақты бөлігі 1/2 құрайды. (тағы қараңыз) Гильберттің сегізінші мәселесі )Шешілмеген.
2-шіПуанкаре гипотезасы: Әрбір қарапайым, жабық 3-коллектор 3-сфераға гомеоморфты.Шешілді. Нәтиже: Иә, дәлелденген Григори Перелман қолдану Ricci ағыны.[3][4][5]2003
3-шіP және NP проблемалары: Алгоритм жасай алатын барлық мәселелер үшін тексеру берілген шешім тез (яғни көпмүшелік уақыт ), алгоритм бола алады табу бұл шешім тез?Шешілмеген.
4-шіБір айнымалы көпмүшенің бүтін нөлдеріндегі Shub – Smale tau-гипотеза[6][7]Шешілмеген.
5-шіЕгер кім болса да шеше алады Диофантиялық теңдеу ƒ(х,ж) = 0 (кіріс ƒ ∈  [сен,v]) бүтін шешім бар, (х,ж), уақытында (2с)в кейбір әмбебап тұрақты үшінв? Яғни, мәселені экспоненталық уақытта шешуге бола ма?Шешілмеген.
6-шыСалыстырмалы тепе-теңдік саны (орталық конфигурациялар ) ақырлы, жылы n- кез-келген оң нақты сандарды таңдау үшін аспан механикасының біртұтас мәселесі м1, ..., мn бұқара ретінде?Ішінара шешілді. 2012 жылы А.Албуй мен В.Калошин бес денеден тұратын барлық жүйелер үшін дәлелденген.[8]2012
7Жиынын табу алгоритмі функциясы: 2-сфераға N нүктені бөлу үшін минимумға келтірілген. Бұл тең Томсон проблемасы.Шешілмеген.
8-шіМатематикалық моделін кеңейтіңіз жалпы тепе-теңдік теориясы қосу баға түзетулерДжерстад (2013)[9] бағаны түзетудің детерминирленген моделін стохастикалық модельге дейін кеңейтеді және стохастикалық модель тепе-теңдікке сызықталған кезде нәтиже қолданбалы эконометрикада қолданылатын бағаны түзетудің автогрессивті моделі болатындығын көрсетеді. Содан кейін ол модельді жалпы тепе-теңдік тәжірибесіндегі бағаны түзету деректерімен тексереді. Модель екі тауармен жалпы тепе-теңдік экспериментінде жақсы жұмыс істейді.2013
9-шыThe сызықтық бағдарламалау Мәселе: а қатты-көпмүшелік уақыт берілген матрица үшін алгоритм A ∈ Rм×n және б ∈ Rм бар-жоғын шешеді х ∈ Rn бірге Балта ≥ б.Шешілмеген.
10-шыПуфтың жабылатын леммасы (тегістіктің жоғары тәртібі)Ішінара шешілді. 2016 жылы М.Асаока мен К.Иридің жабық беттердің гамильтондық диффеоморфизмімен дәлелденген.[10]2016
11-шіБір өлшемді динамика жалпы гиперболалық бола ма?

а) күрделі көпмүшелік бола алады Т әрбір сыни нүкте итерация кезінде периодты раковинаға ұмтылатын қасиетімен бірдей дәрежеге жуықтала ма?

ә) тегіс карта жасай алады Т : [0,1] → [0,1] болуы Cр барлығына гиперболалық болатынға жуықтайды р > 1?
а) шешілмеген, тіпті көпмүшелердің қарапайым параметр кеңістігінде де Mandelbrot орнатылды.

(b) Шешілді. Козловски, Шен және ван Стрийен дәлелдеді.[11]
2007
12-шіҮшін жабық коллектор және кез келген рұқсат етіңіз болуы топологиялық топ туралы диффеоморфизмдер туралы өзіне. Ерікті түрде берілген , мұны ерікті түрде жақындатуға болады ма ол тек өзінің итераттарымен жүреді?

Басқаша айтқанда, бұл барлық диффеоморфизмдердің жиынтығы орталықтандырушылар тривиальды тығыз ?

Ішінара шешілді. Шешілген C1 топология Кристиан Бонатти, Сильвейн Кровизье және Ами Уилкинсон[12] 2009 жылы. әлі де ашық Cр топологиясы р > 1.2009
13-шіГильберттің 16-шы мәселесі: А-дан шығатын сопақшалардың салыстырмалы орналасуын сипаттаңыз нақты алгебралық қисық және сол сияқты шекті циклдар көпмүшелік векторлық өріс ұшақта.8 дәрежелі алгебралық қисықтар үшін де шешілмеген.
14-шіҚасиеттерін жасаңыз Lorenz аттракторы таңқаларлық аттракционды көрсете аласыз ба?Шешілді. Нәтиже: Ия, шешілді Уорвик Такер қолдану аралық арифметика.[13]2002
15-шіЖасаңыз Навье - Стокс теңдеулері жылы R3 әрқашан бар бірегей тегіс шешім ол барлық уақытқа созылады?Шешілмеген.
16-шыЯкобиялық болжам: Егер Якобиялық анықтаушы F нөлге тең емес тұрақты және к бар сипаттамалық 0, содан кейін F кері функцияға ие G : кN → кN, және G болып табылады тұрақты (оның компоненттері көпмүшелер деген мағынада).Шешілмеген.
17-шіШешу көпмүшелік теңдеулер жылы көпмүшелік уақыт орташа жағдайдаШешілді. К.Белтран мен Л.М.Пардо біркелкі ықтималдық алгоритмін тапты (орташа) Лас-Вегас алгоритмі ) Смэйлдің 17-ші мәселесі үшін[14][15]

Ф. Чакер және П.Бюргиссер жасады тегістелген талдау ықтималдық алгоритмі la Beltrán-Pardo содан кейін уақыт бойынша жұмыс істейтін детерминирленген алгоритмді көрсетті .[16]

Соңында, П. Лайрез алгоритмді рандомизациядан шығарудың балама әдісін тапты және осылайша орташа көпмүшелік уақытта жұмыс жасайтын детерминирленген алгоритмді тапты.[17]

Бұл жұмыстардың барлығы Shub and Smale-дің негізін қалаушы («Bezout сериясы») жұмысына сәйкес келеді[18]
2008-2016
18-шіШектері ақыл (адам мен машина жағынан интеллект пен оқытудың негізгі проблемалары туралы айтады)[19]Шешілмеген.

Кейінгі нұсқаларында Смэйл тағы үш қосымша проблеманы келтірді, «бұл біздің негізгі тізімімізден орын алу үшін маңызды болып көрінбейді, бірақ оларды шешкеніміз жөн болар еді».[20][21]

  1. Орташа мән проблемасы
  2. Болып табылады үш сфера а минималды жиынтық (Готтшалктің болжамдары )?
  3. Бұл Аносов диффеоморфизмі а ықшам коллектор топологиялық жағынан бірдей Өтірік тобы Джон Фрэнктің моделі?

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Smale, Steve (1998). «Келесі ғасырға арналған математикалық есептер». Математикалық интеллект. 20 (2): 7–15. CiteSeerX  10.1.1.35.4101. дои:10.1007 / bf03025291.
  2. ^ Smale, Steve (1999). «Келесі ғасырға арналған математикалық есептер». Арнольдта В.И .; Атия М .; Лакс, П .; Мазур, Б. (ред.) Математика: шекаралар мен перспективалар. Американдық математикалық қоғам. 271–294 бет. ISBN  978-0821820704.
  3. ^ Перелман, Григори (2002). «Риччи ағынының энтропия формуласы және оның геометриялық қосымшалары». arXiv:math.DG / 0211159.
  4. ^ Перелман, Григори (2003). «Үш коллекторлы операциямен Ricci ағымы». arXiv:math.DG / 0303109.
  5. ^ Перелман, Григори (2003). «Риччидің шешімдерінің жойылу уақыты белгілі үш көпжақты бойынша ағып кетеді». arXiv:math.DG / 0307245.
  6. ^ Шуб, Майкл; Smale, Steve (1995). «Гильберттің Nullstellensatz және алгебралық нұсқасының шешілмейтіндігі туралы» NP ≠ P?"". Герцог Математика. Дж. 81: 47–54. дои:10.1215 / S0012-7094-95-08105-8. Zbl  0882.03040.
  7. ^ Бюргиссер, Питер (2000). Алгебралық күрделілік теориясының толықтығы және азаюы. Математикадағы алгоритмдер және есептеу. 7. Берлин: Шпрингер-Верлаг. б. 141. ISBN  978-3-540-66752-0. Zbl  0948.68082.
  8. ^ Альбу, А .; Калошин, В. (2012). «Жазықтықтағы бес дененің орталық конфигурациясының түпкіліктігі». Математика жылнамалары. 176: 535–588. дои:10.4007 / жылнамалар.2012.176.1.10.
  9. ^ Джерстад, Стивен (2013). «Биржалық экономикадағы баға динамикасы». Экономикалық теория. 52 (2): 461–500. CiteSeerX  10.1.1.415.3888. дои:10.1007 / s00199-011-0651-5.
  10. ^ Асаока, М .; Ири, К. (2016). «А C жабық беттердің гамильтондық диффеоморфизмі үшін жабылатын лемма ». Геометриялық және функционалдық талдау. 26 (5): 1245–1254. дои:10.1007 / s00039-016-0386-3.
  11. ^ Козловский, О .; Шен, В .; van Strien, S. (2007). «Бірінші өлшемдегі гиперболалық тығыздық». Математика жылнамалары. 166: 145–182. дои:10.4007 / жылнамалар.2007.166.145.
  12. ^ Бонатти, С .; Кровизье, С .; Уилкинсон, А. (2009). «С1- жалпы диффеоморфизмнің тривиальды орталықтандырушысы бар ». Mathématiques de l'IHÉS басылымдары. 109: 185–244. arXiv:0804.1416. дои:10.1007 / s10240-009-0021-z.
  13. ^ Такер, Уорвик (2002). «Қатты ODE шешуші және Smale-дің 14-ші мәселесі» (PDF). Есептеу математикасының негіздері. 2 (1): 53–117. CiteSeerX  10.1.1.545.3996. дои:10.1007 / s002080010018.
  14. ^ Белтан, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2008). «Смэйлдің 17-ші мәселесі туралы: ықтимал оң жауап» (PDF). Есептеу математикасының негіздері. 8 (1): 1–43. CiteSeerX  10.1.1.211.3321. дои:10.1007 / s10208-005-0211-0.
  15. ^ Белтан, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2009). «Смэйлдің 17-ші есебі: аффиндік және проективті шешімдерді есептеудің орташа көпмүшелік уақыты» (PDF). Америка математикалық қоғамының журналы. 22 (2): 363–385. Бибкод:2009 Джеймс ... 22..363B. дои:10.1090 / s0894-0347-08-00630-9.
  16. ^ Чакер, Фелипе; Bürgisser, Peter (2011). «Стив Смэйлдің проблемасы туралы». Математика жылнамалары. 174 (3): 1785–1836. arXiv:0909.2114. дои:10.4007 / жылнамалар.2011.174.3.8.
  17. ^ Лайрес, Пьер (2016). «Орташа уақыттағы көпмүшелік жүйелердің жуықтамалық түбірлерін есептеудің детерминирленген алгоритмі». Есептеу математикасының негіздері. пайда болу.
  18. ^ Шуб, Майкл; Smale, Stephen (1993). «Безут теоремасының күрделілігі. I. Геометриялық аспектілері». Дж.Амер. Математика. Soc. 6 (2): 459–501. дои:10.2307/2152805. JSTOR  2152805..
  19. ^ «Туксон - 3-күн - Стив Смэйлмен сұхбат». Рекурсивтілік. 3 ақпан, 2006 ж.
  20. ^ Смэйл, Стив. «Келесі ғасырға арналған математикалық есептер» (PDF).
  21. ^ Смэйл, Стив. «Келесі ғасырға арналған математикалық есептер, математика: шекаралар мен перспективалар». Американдық математикалық қоғам, Провиденс, RI: 271–294.